Почему Джефрис полезен ранее?

Я понимаю, что априор Джеффриса инвариантен при повторной параметризации. Однако я не понимаю, почему это свойство желательно.

Почему вы не хотите, чтобы предыдущий изменялся при смене переменных?

Позвольте мне завершить ответ дзен. Мне не очень нравится понятие «представление невежества». Важной вещью является не Джефрис до, а Джеффрис зад . Эта апостериорная задача призвана максимально полно отразить информацию о параметрах, представленных данными. Свойство инвариантности естественно требуется для двух следующих пунктов. Рассмотрим, например, биномиальную модель с неизвестным параметром пропорции и параметром шансов ψ = $\theta$ .$\psi=\frac{\theta}{1-\theta}$

1. Апостериорный Джеффрис на отражает как можно лучше информацию о θ, приведенную данными. Между θ и ψ существует взаимно-однозначное соответствие . Затем, преобразование аппроксимации Джеффри на θ в апостериорный на ψ (с помощью обычной формулы изменения переменных) должно дать распределение, максимально отражающее информацию о ψ . Таким образом, это распределение должно быть задним числом Джеффриса около ψ . Это свойство инвариантности.$\theta$$\theta$$\theta$$\psi$$\theta$$\psi$$\psi$$\psi$

2. Важным моментом при подведении итогов статистического анализа является научное общение . Представьте, что вы даете Джеффриса на научному коллеге. Но он / она интересуется ψ, а не θ . Тогда это не проблема со свойством инвариантности: он / она просто должен применить формулу изменения переменных.$\theta$$\psi$$\theta$

Предположим, что вы и ваш друг анализируете один и тот же набор данных, используя обычную модель. Вы принимаете обычную параметризацию нормальной модели, используя среднее значение и дисперсию в качестве параметров, но ваш друг предпочитает параметризовать нормальную модель с коэффициентом вариации и точностью в качестве параметров (что совершенно «допустимо»). Если вы оба используете приоры Джеффриса, ваше апостериорное распределение будет апостериорным распределением вашего друга, должным образом трансформированным из его параметризации в ваше. Именно в этом смысле априор Джеффриса «инвариантен»

(Кстати, «инвариант» - это ужасное слово; мы на самом деле имеем в виду, что оно «ковариантно» в том же смысле тензорного исчисления / дифференциальной геометрии, но, конечно, этот термин уже имеет хорошо установленное вероятностное значение, поэтому мы не можем его использовать.)

Почему это свойство согласованности желательно? Потому что, если у априора Джеффриса есть хоть какой-то шанс представить невежество о значении параметров в абсолютном смысле (на самом деле это не так, но по другим причинам, не связанным с «инвариантностью»), а не незнание относительно конкретной параметризации модели, это должно быть так, что независимо от того, с какими параметризациями мы произвольно решили начать, наши потомки должны «совпадать» после преобразования.

Сам Джеффрис регулярно нарушал это свойство «инвариантности», когда строил свои приоры.

В этой статье есть несколько интересных дискуссий по этому и смежным вопросам.

Чтобы добавить некоторые цитаты к великому ответу Дзен: по словам Джейнса, настоятель Джеффриса является примером принципа групп трансформации, который вытекает из принципа безразличия:

$A_1$$A_2$$p_1=p_2$$(1, 2)$ тогда мы могли бы создать новую проблему, в которой наш уровень знаний будет таким же, но в котором мы назначаем разные вероятности ...

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос: «Почему вы не хотите, чтобы предыдущий изменялся при смене переменных?»

По мнению Джейнса, параметризация - это другой вид произвольной метки, и нельзя «путем простого обмена метками создать новую проблему, в которой наш уровень знаний такой же, но в котором мы назначаем разные вероятности». »

Джеффрис до этого бесполезен . Это потому что:

1. Он просто указывает форму распространения; он не говорит вам, какими должны быть его параметры.
2. Вы никогда не будете полностью невежественны - всегда есть что-то в параметре, который вы знаете (например, часто это не может быть бесконечностью). Используйте его для вывода, определив предварительное распределение. Не лгите себе, говоря, что вы ничего не знаете.
3. «Инвариантность при трансформации» не является желательным свойством. Ваша вероятность изменяется при трансформации (например, по якобиану). Это не создает «новых проблем» темпа Джейнса. Почему к предыдущему нельзя относиться одинаково?

Просто не используйте это.