Отрицательный коэффициент в упорядоченной логистической регрессии

Предположим, у нас есть порядковый ответ и набор переменных которые мы считаем объясню . Затем мы делаем упорядоченную логистическую регрессию (матрица дизайна) на (ответ).$y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$$X:=[x_1,x_2,x_3]$$y$$X$$y$

Предположим, что оценочный коэффициент , назовите его , в упорядоченной логистической регрессии равен . Как мне интерпретировать отношение шансов (ИЛИ) ?$x_1$$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

Должен ли я сказать, что "при увеличении x_1 на 1 единицу $x_1$при прочих равных условиях шансы на наблюдение $\text{Good}$ в $0.607$ раза выше шансов на наблюдение $\text{Bad}\cup \text{Neutral}$ , а также на то же изменение $x_1$ , шансы на наблюдение $\text{Neutral} \cup \text{Good}$ в $0.607$ раза выше шансов на наблюдение $\text{Bad}$ "?

Я не могу найти примеры интерпретации отрицательных коэффициентов в своем учебнике или в Google.

Вы на правильном пути, но всегда смотрите документацию на программное обеспечение, которое вы используете, чтобы увидеть, какая модель действительно подходит. Предположим ситуацию с категориальной зависимой переменной с упорядоченными категориями 1 , … , g , … , k и предикторами X 1 , … , X j , … , X p .$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

«В дикой природе» вы можете встретить три эквивалентных варианта написания теоретической модели пропорциональных шансов с различными значениями подразумеваемых параметров:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(Модели 1 и 2 имеют ограничение, согласно которому в отдельных бинарных логистических регрессиях β j не изменяется с g , а β 0 1 < … < β 0 g < … < β 0 k - 1 , модель 3 имеет такое же ограничение относительно β j и требует, чтобы β 0 2 > … > β 0 g > … > β 0 k )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• В модели 1, положительный означает , что увеличение предсказателя X J связанно с повышенным коэффициентом для нижней категории в Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Модель 1 несколько нелогична, поэтому модель 2 или 3 кажется предпочтительной в программном обеспечении. Здесь, положительная означает , что увеличение предсказателя X J связано с повышенным коэффициентом для более высокой категории в Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Модели 1 и 2 приводят к тем же оценкам для , но их оценки для β j имеют противоположные знаки.$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• Модели 2 и 3 приводят к тем же оценкам для , но их оценки для β 0 g имеют противоположные знаки.$\beta_{j}$$\beta_{0_g}$

Предполагая, что ваше программное обеспечение использует модель 2 или 3, вы можете сказать: «при увеличении на 1 единицу , при прочих равных условиях, прогнозируемые шансы наблюдать« Y = Хорошо »против наблюдения« Y = Нейтрально ИЛИ Плохо »с коэффициентом е β 1 = 0,607 . «и также» с увеличением на 1 единицу в X 1 , при прочих равных условиях, что предсказанные шансы наблюдения „ Y = хороший или нейтральный “ „ по сравнению с наблюдать Y = Bad “ изменение с коэффициентом е $X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$. "Обратите внимание, что в эмпирическом случае у нас есть только прогнозные шансы, а не фактические.$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Вот некоторые дополнительные иллюстрации для модели 1 с категориями. Во-первых, предположение о линейной модели для кумулятивных логитов с пропорциональными коэффициентами. Во-вторых, подразумеваемые вероятности наблюдения не более категории g . Вероятности следуют за логистическими функциями одинаковой формы. $k = 4$$g$

Для самих вероятностей категории изображенная модель подразумевает следующие упорядоченные функции:

PS Насколько мне известно, модель 2 используется в SPSS, а также в R-функциях MASS::polr()и ordinal::clm(). Модель 3 используется в R функциях rms::lrm()и VGAM::vglm(). К сожалению, я не знаю о SAS и Stata.