Разве общая вероятность двух независимых событий не должна быть равна нулю?

Если совместная вероятность является пересечением двух событий, то не должна ли совместная вероятность двух независимых событий быть нулевой, поскольку они вообще не пересекаются? Я запутался.

probability joint-distribution

— Гастон
источник

Вероятность того, что я смотрю на данный день телевизор, равна 1/2. Вероятность того, что в данный день идет дождь, равна 1/2. Это независимые события. Какова вероятность того, что я смотрю телевизор в дождливый день?

— user1936752

@ user1936752 Строго говоря, примеры ваших событий не являются независимыми для большинства людей (например, они могут быть более охотно проводить время на улице, когда не идет дождь)

— Хаген фон Айцен

@HagenvonEitzen Хорошо, хорошая мысль. Изменить дождливый день, чтобы поесть шоколад .

— Руи Баррадас

@ Гастон: не путайте «независимый» с «взаимоисключающим». Независимые события совершенно не связаны друг с другом, тогда как взаимоисключающие события по своей сути связаны. Например, предположим, что я подбрасываю две монеты: результат получения монеты 1 не влияет на то, получу ли я головы на монете 1, но это по своей сути связано с тем, получаю ли я хвосты на монете 1! =)

— jdmc

Это видео здесь и этот другой будет полезно в понимании этих понятий.

— Learn_and_Share

Ответы:

Есть разница между

независимые события: $\mathbb P(A \cap B) =\mathbb P(A)\,\mathbb P(B)$ , то есть $\mathbb P(A \mid B)= \mathbb P(A)$ поэтому знание того, что произошло, не дает информации о том, произошло ли другое
взаимно не пересекающиеся события: $\mathbb P(A \cap B) = 0$ , то есть $\mathbb P(A \mid B)= 0$ поэтому знание того, что одно произошло, означает, что другое не произошло

Вы попросили картину. Это может помочь:

— Генри
источник

Есть ли причина, по которой вы написали «почти» во втором пункте? Это одна из тех «возможных с нулевой вероятностью» вещей? Я бы подумал, что это по определению невозможно (например, вероятность голов и вероятность хвостов), тогда зачем писать «почти наверняка», а не «наверняка»? Я полагаю, что это вероятностная интерпретация.

— Gerrit

@ Барранка Я понимаю, но это не похоже на то, что нарисовано на картинке справа. Совместная вероятность того, что равномерно нарисованное случайное число в [0, 1] будет меньше 0,4 и больше 0,6, не только равна нулю, но и совершенно невозможна. Разве это не то, что иллюстрирует широкая полоса на правильной фигуре? Или я неправильно понимаю фигуру?

— Gerrit

@ Барранка Я мог бы бросить монету так быстро, что она ускользает от гравитационного притяжения Земли. Я бы рискнул P (HEADS) = 0,499 ..., P (TAILS) = 0,499 ..., 0 <P (LAND ON SIDE) <0,000000000001 и 0 <P (ESCAPE VELOCITY) <0,0000000000001. Строго говоря, если вероятность события равна нулю, то это не может произойти.

— emory

Я не эксперт, но даже после вашего последнего комментария я согласен с @gerrit: головы и хвосты не пересекаются. Можно получить не головы и не хвосты , но невозможно получить головы и хвосты . Таким образом, зная, что случились головы, это означает, что хвосты не могли случиться - никаких «почти». Я могу ошибаться в своей терминологии, но если это так, пожалуйста, объясните терпеливо, поскольку я не единственный, кому не хватает этого

— Крис Х

@Braanka Ваш пример с монетами плохой, так как, по-видимому, приземление на стороне имеет ненулевую вероятность, и если вы говорите, что она имеет нулевую вероятность, ну, теперь вы в значительной степени просто задаете вопрос.

— накопление

Из вашего вопроса я понял, что вы могли путать независимые события с непересекающимися событиями.

непересекающиеся события: два события называются непересекающимися или взаимоисключающими, если они не могут произойти. Например, если мы бросаем кубик, результаты 1 и 2 не пересекаются, поскольку они не могут произойти оба. С другой стороны, результаты 1 и «бросание нечетного числа» не являются непересекающимися, поскольку оба происходят, если результат броска равен 1. Пересечение таких событий всегда равно 0.

независимые события: два события являются независимыми, если знание результата одного не дает полезной информации о результате другого. Например, когда мы бросаем два кубика, результат каждого - независимое событие - знание результата одного броска не помогает определить результат другого. Давайте построим на этом примере: мы бросаем два кубика, красный и синий. Вероятность получения 1 на красном дается как P (красный = 1) = 1/6, а вероятность получения 1 на белом дается P (белый = 1) = 1/6. Можно получить их пересечение (т.е. оба получить 1), просто умножив их, так как они независимы. P (красный = 1) x P (белый = 1) = 1/6 x 1/6 = 1/36! = 0. Проще говоря, в 1/6 времени красный кубик равен 1, а 1/6 в те времена белый кубик равен 1. Для иллюстрации:

— Умайр Рафике
источник

Путаница ОП заключается в понятиях непересекающихся событий и независимых событий.

Одно простое и интуитивно понятное описание независимости:

A и B независимы, если знание того, что произошло A, не дает вам никакой информации о том, произошло ли B

Или, другими словами,

A и B независимы, если знание того, что A произошло, не меняет вероятность того, что B произошло.

Если А и В не пересекаются, то зная, что А произошло, это изменит правила игры! Теперь вы будете уверены, что Б не произошло! И поэтому они не независимы.

Единственный способ, которым независимость и «несвязность» в этом примере одинаковы, - это когда B - пустой набор (с вероятностью 0). В этом случае происходящее ничего не сообщает о B

Нет картинок, но есть хоть какая-то интуиция

— Получил
источник