Как симулировать из гауссовой связки?

Предположим, что у меня есть два одномерных маргинальных распределения, скажем, $F$ и $G$ , из которых я могу смоделировать. Теперь построим их совместное распределение, используя гауссову связку , обозначаемую $C(F,G;\Sigma)$ . Все параметры известны.

Есть ли не-MCMC метод для симуляции из этой связки?

Существует очень простой метод для моделирования с помощью гауссовой связки, который основан на определениях многомерного нормального распределения и гауссовой связки.

Я начну с предоставления требуемого определения и свойств многомерного нормального распределения, за которым следует гауссова связка, а затем я приведу алгоритм для моделирования из гаулы Гаусса.

Многомерное нормальное распределение
Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, если X d = μ + A Z , где Z - k- мерный вектор независимых стандартных нормальных случайных величин, μ - это d- мерный вектор констант, а A - матрица констант d × k . Обозначение d$X = (X_1, \ldots, X_d)'$

$$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$$ $Z$$k$$\mu$$d$$A$$d\times k$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$обозначает равенство в распределении. Таким образом, каждый компонент является по существу взвешенной суммой независимых стандартных нормальных случайных величин. Из свойств средних векторов и ковариационных матриц имеем E ( X ) = μ и c o v ( X ) = Σ , причем Σ = A A ′ , что приводит к естественному обозначению X ∼ N d ( μ , Σ ) .$X$
${\rm E}(X) = \mu$${\rm cov}(X) = \Sigma$$\Sigma = AA'$$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

Гаусс копула Гаусс копула определяются неявным образом из многомерного нормального распределения, то есть, связка Гаусс является копулой связан с многомерным нормальным распределением. В частности, по теореме Склара копула Гаусса имеет вид C P ( u 1 , … , u d ) = Φ P ( Φ - 1 ( u 1 ) , … , Φ - 1 ( u d ) ) , где Φ

$$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$$ $\Phi$обозначает стандартную функцию нормального распределения, а обозначает многовариантную стандартную функцию нормального распределения с корреляционной матрицей P. Таким образом, копула Гаусса является просто стандартным многомерным нормальным распределением, где интегральное преобразование вероятности применяется к каждому полю.$\boldsymbol{\Phi}_P$

Алгоритм моделирования
В свете вышеизложенного естественным подходом к моделированию из связки Гаусса является моделирование из многомерного стандартного нормального распределения с соответствующей корреляционной матрицей и преобразование каждого запаса с использованием интегрального преобразования вероятности со стандартной функцией нормального распределения. В то время как моделирование из многомерного нормального распределения с ковариационной матрицей Σ по существу сводится к получению взвешенной суммы независимых стандартных нормальных случайных величин, где «весовая» матрица A может быть получена путем разложения Холецкого ковариационной матрицы Σ .$P$$\Sigma$$A$$\Sigma$

$n$$P$

1. $P$$A$
2. $n$
   1. $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
   2. $X = AZ$
   3. $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

Следующий код в примере реализации этого алгоритма с использованием R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

Следующая диаграмма показывает данные, полученные из приведенного выше кода R.