Аппроксимация для дискретного распределения

Каков наилучший способ аппроксимировать для двух заданных целых чисел когда вы знаете среднее , дисперсию , асимметрию и избыточный эксцесс дискретного распределения и из (ненулевых) мер формы и что нормальное приближение не подходит?$Pr[n \leq X \leq m]$$m,n$$\mu$$\sigma^2$$\gamma_1$$\gamma_2$$X$$\gamma_1$$\gamma_2$

Обычно я использовал бы нормальное приближение с целочисленной коррекцией ...

$Pr[(n - \text{½})\leq X \leq (m + \text{½})] = Pr[\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}] = \Phi(\frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma})$

... если асимметрия и избыточный эксцесс были (ближе к) 0, но здесь это не так.

Я должен выполнить несколько приближений для разных дискретных распределений с разными значениями и . Поэтому мне интересно узнать, существует ли установленная процедура, которая использует и для выбора лучшего приближения, чем нормальное приближение.$\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1$$\gamma_2$

Это интересный вопрос, который на самом деле не имеет хорошего решения. Есть несколько разных способов решения этой проблемы.

1. Предположим базовое распределение и моменты совпадения - как предложено в ответах @ivant и @onestop. Недостатком является то, что многомерное обобщение может быть неясным.

2. Седловые приближения. В этой статье:

   Гиллеспи К.С. и Реншоу Е. Улучшенное приближение седловой точки. Математическая бионаука , 2007.

   Мы смотрим на восстановление pdf / pmf, когда даны только первые несколько минут. Мы обнаружили, что этот подход работает, когда асимметрия не слишком велика.

3. Расширения Лагерра:

   Мустафа, Х., Димитракопулоса, Р. Обобщенные разложения Лагерра многомерных плотностей вероятностей с моментами . Компьютеры и математика с приложениями , 2010.

   Результаты в этой статье кажутся более многообещающими, но я не кодировал их.

Подгонка распределения к данным с использованием первых четырех моментов - это как раз то, для чего Карл Пирсон разработал семейство непрерывных распределений вероятностей Пирсона (максимальная вероятность, конечно, гораздо более популярна в наши дни). Должно быть достаточно просто, чтобы соответствовать соответствующему члену этого семейства, затем использовать тот же тип коррекции непрерывности, который вы указали выше для нормального распределения.

Я полагаю, у вас должен быть действительно огромный размер выборки? В противном случае выборочные оценки асимметрии и особенно эксцесса часто бывают безнадежно неточными, а также очень чувствительными к выбросам. В любом случае, я настоятельно рекомендую вам взглянуть на L-моменты как альтернативу, которая имеет ряд преимуществ по сравнению с обычными моментами, которые могут быть выгодно для подгонки распределений к данным.

Вы можете попытаться использовать асимметричное нормальное распределение и посмотреть, достаточно ли избыточный эксцесс для ваших конкретных наборов данных близок к избыточному эксцессу распределения для данной асимметрии. Если это так, вы можете использовать асимметричное нормальное распределение cdf для оценки вероятности. Если нет, вам нужно было бы придумать преобразование в нормальный / асимметричный pdf, похожее на то, которое использовалось для асимметричного нормального распределения, которое дало бы вам возможность контролировать как асимметрию, так и избыточный эксцесс.