Какова ожидаемая величина логарифма гамма-распределения?

Если ожидаемое значение равно , каково ожидаемое значение ? Можно ли рассчитать аналитически? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Параметризация, которую я использую, является скоростью формы.

expected-value gamma-distribution

— Стефано Веспуччи
источник

Если , то в соответствии с mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], где PolyGamma обозначает функцию дигаммы

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— волки

Я должен добавить, что вы не предоставляете pdf-форму вашей гамма-переменной, и поскольку вы сообщаете, что среднее значение равно (тогда как для меня это будет , похоже, вы используете нотацию, отличную от меня, где ваши

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— волки

Правда извините Параметризация, которую я использую, является скоростью формы. Я постараюсь найти его для этой параметризации , Не могли бы вы предложить запрос для Mathematica / WolframAlpha?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Стефано Веспуччи

См. Также Джонсон, Лотц и Балакришна (1994) непрерывные одномерные распределения Том 1 2-е изд. С. 337-349.

— Бьёрн

Также см. Википедию: Гамма-распределение # Логарифмическое ожидание и дисперсия

— Glen_b

Ответы:

Это (может быть удивительно) может быть сделано с простыми элементарными операциями (используя любимую уловку Ричарда Фейнмана дифференцирования под знаком интеграла относительно параметра).

Мы предполагаем, что имеет распределение и мы хотим найти ожидание Во-первых, поскольку является параметром масштаба, его эффект будет заключаться в смещении логарифма на (Если вы используете в качестве параметра скорости , как в вопросе, он сместит логарифм на ) Это позволяет нам работать со случаем $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

После этого упрощения, вероятность элемент является $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

где - нормализующая константа $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Подстановка которая влечет за собой дает элемент вероятности , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

Возможные значения теперь охватывают все действительные числа $Y$ $\mathbb{R}.$

Поскольку должен интегрироваться в единицу, мы получаем (тривиально) $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Обратите внимание, что является дифференцируемой функциейПростой расчет дает $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

На следующем шаге используется отношение, полученное путем деления обеих сторон этой идентичности на тем самым обнажая сам объект, который нам нужно интегрировать, чтобы найти ожидание; а именно, $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

логарифмическая производная гамма-функции (также известная как « полигамма »). Интеграл был вычислен с использованием тождества $(1).$

Повторное введение фактора показывает общий результат $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

для параметризации шкалы (где функция плотности зависит от ) или $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

для параметризации скорости (где функция плотности зависит от ). $x\beta$

— Whuber
источник

С функцией полигаммы вы имеете в виду, какой порядок (например, 0,1) является дигаммой (как указал @wolfies), тригаммой?

— Стефано Веспуччи

@ Stefano Я имею в виду логарифмическую производную гаммы, как указано. Это означает, что

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

Ответ @whuber довольно хорош; По сути, я перефразирую его ответ в более общей форме, которая лучше связывает (на мой взгляд) со статистической теорией и проясняет всю мощь общей методики.

Рассмотрим семейство распределений которые составляют экспоненциальное семейство , то есть они допускают плотность относительно некоторой общей доминирующей меры (обычно, меры Лебега или счетной меры). Различая обе части по мы приходим к уравнению оценки где - функция оценки $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ и мы определили . В случае экспоненциального семейства имеем где ; иногда ее называют функцией кумулянта , поскольку она, очевидно, очень тесно связана с функцией, производящей кумулянт. Из теперь следует, что .

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Теперь мы покажем, что это помогает нам вычислить ожидаемое ожидание. Мы можем записать гамма-плотность с фиксированной как семейство экспонент Это экспоненциальное семейство в только с и . Из вычисления немедленно следует, что $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— парень
источник

+1 Спасибо за указание на это хорошее обобщение.

— whuber