Почему экспоненциальные коэффициенты логистической регрессии считаются «коэффициентами шансов»?

Логистическая регрессия моделирует лог-шансы события как некоторый набор предикторов. То есть log (p / (1-p)), где p - вероятность некоторого исхода. Таким образом, интерпретация необработанных коэффициентов логистической регрессии для некоторой переменной (x) должна осуществляться в масштабе логарифмических коэффициентов. То есть, если коэффициент для x = 5, тогда мы знаем, что изменение на 1 единицу по x соответствует изменению на 5 единиц по шкале логарифмических шансов, что результат будет получен.

Тем не менее, я часто вижу, как люди интерпретируют экспоненциальные коэффициенты логистической регрессии как отношения шансов. Однако ясно, exp (log (p / (1-p))) = p / (1-p), что является вероятностью. Насколько я понимаю, отношение шансов - это вероятность одного события, происходящего (например, p / (1-p) для события A) по отношению к шансам другого события (например, p / (1-p) для события) Б).

Что мне здесь не хватает? Похоже, что эта общая интерпретация возведенных в степень коэффициентов логистической регрессии неверна.

Ответ @ Laconic отличный и полный, на мой взгляд. Я хотел бы добавить, что исходные коэффициенты описывают разницу в коэффициентах логарифмирования для двух единиц, которые в предикторе отличаются на 1. Например, для коэффициента равного 5, можно сказать, что разность логарифмических разностей между двумя единицами, которые отличаются на X на 1, равна 5. Математически$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

Когда вы возводите в степень , вы получаете$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

который представляет собой отношение шансов, отношение шансов.

Рассмотрим два набора условий: первое описывается вектором независимых переменных , а второе - вектором X ' , который отличается только i-й переменной x i и одной единицей. Пусть β - вектор параметров модели как обычно.$X$$X'$$x_i$$\beta$

Согласно модели логистической регрессии, вероятность события, происходящего в первом случае, равна , так что вероятность наступления события равнаp$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$

$\exp(\beta_i)$