Как легко определить распределение результатов для нескольких кубиков?

Я хочу рассчитать распределение вероятностей для суммы комбинации костей.

Я помню, что вероятность - это количество комбинаций, которые составляют это число в общем количестве комбинаций (при условии, что кости имеют равномерное распределение).

Какие формулы для

• Количество комбинаций всего
• Количество комбинаций, которые составляют определенное количество

Точные решения

Количество комбинаций в бросках, конечно, .$n$$6^n$

Эти вычисления легче всего сделать, используя функцию генерации вероятности для одного кристалла,

$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$

(На самом деле это в раз больше ПГФ - я позабочусь о коэффициенте в конце.)$6$$6$

Pgf для рулонов - это . Мы можем вычислить это довольно напрямую - это не закрытая форма, но она полезна - используя Биномиальную теорему:$n$$p(x)^n$

$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$

$$= x^n \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j\right).$$

Число способов получить сумму, равную на кубике, представляет собой коэффициент в этом произведении, который мы можем выделить как$m$$x^m$

$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$

Сумма по всем неотрицательным и для которых ; следовательно, оно конечно и имеет только около членов. Например, число способов суммирования в бросках является суммой всего двух слагаемых, потому что можно записать только как и :$k$$j$$6k + j = m - n$$(m-n)/6$$m = 14$$n = 3$$11 = 14-3$$6 \cdot 0 + 11$$6 \cdot 1 + 5$

$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$

$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$

$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$

(Вы также можете быть умным и заметить, что ответ будет таким же для по симметрии 1 <-> 6, 2 <-> 5 и 3 <-> 4, и есть только один способ расширить при , а именно при и , что дает$m = 7$$7 - 3$$6 k + j$$k = 0$$j = 4$

$${3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.}$$

Следовательно, вероятность равна = , около 14%.$15/6^3$$5/36$

К тому времени, когда это становится болезненным, Центральная предельная теорема дает хорошие приближения (по крайней мере, к центральным слагаемым, где находится между и : на относительной основе приближения, которые он дает для значений хвоста, становятся все хуже и хуже при увеличении ).$m$$\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$$\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$$n$

Я вижу, что эта формула дается в ссылках Srikant на статью в Википедии, но не приводится никакого обоснования и не приводятся примеры. Если этот подход выглядит слишком абстрактным, запустите вашу любимую систему компьютерной алгебры и попросите ее расширить мощность : вы можете прочитать все набор значений сразу. Например , однострочник Mathematica$n^{\text{th}}$$x + x^2 + \cdots + x^6$

With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]

Еще один способ быстро вычислить распределение вероятности броска костей - использовать специальный калькулятор, разработанный специально для этой цели.

У Торбена Могенсена , профессора CS в DIKU, есть превосходный ролик для игры в кости под названием Troll .

Ролик для игры в кости Тролля и калькулятор вероятности распечатывает распределение вероятности (pmf, гистограмма и, необязательно, cdf или ccdf), среднее значение, разброс и среднее отклонение для множества сложных механизмов броска костей. Вот несколько примеров, демонстрирующих язык броска игральных костей Тролля:

Раскатать 3 6 кубика и просуммировать их: sum 3d6.

Ролл 4 6-сторонние кости, держать высокий 3 и просуммировать их: sum largest 3 4d6.

Ролл в «взрывающейся» 6-сторонний кубик (т.е. каждый раз , когда «6» приходит, добавить 6 к общей сумме и рулон снова) sum (accumulate y:=d6 while y=6).

Исходный код Troll SML доступен, если вы хотите увидеть, как он реализован.

Профессор Моргенсен также имеет 29-страничный документ « Механизмы броска костей в ролевых играх », в котором он обсуждает многие механизмы бросания костей, реализованные Троллем, и некоторые математические разработки, стоящие за ними.

Аналогичное бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом - Dicelab , которое работает как в Linux, так и в Windows.

$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$

Пусть первый кубик будет красным, а второй - черным. Тогда есть 36 возможных результатов:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}$$

Каждый из этих 36 ( ) результатов одинаково вероятен.$\red{\text{red}},\text{black}$

Когда вы суммируете числа на гранях (итоговое значение в ), некоторые из (красных, черных) результатов будут иметь одинаковую общую сумму - вы можете увидеть это в таблице в вашем вопросе.$\blue{\text{blue}}$

Так, например, есть только один способ получить всего (т.е. только событие ( )), но есть два способа получить (т.е. элементарные события ( ) и ( )). Таким образом, всего в два раза больше, чем . Точно так же есть три способа получить , четыре способа получить и так далее.1 , 1 3 2 , 1 1 , 2 3 2 4 $2$$\red{1},1$$3$$\red{2},1$$\red{1},2$$3$$2$$4$$5$

Теперь, поскольку у вас есть 36 возможных (красный, черный) результатов, общее количество способов получить все разные итоги также составляет 36, поэтому вам нужно разделить на 36 в конце. Ваша общая вероятность будет 1, как и должно быть.

Существует очень аккуратный способ вычисления комбинаций или вероятностей в электронной таблице (например, в Excel), которая напрямую вычисляет свертки.

Я сделаю это с точки зрения вероятностей и проиллюстрирую это для шестигранных костей, но вы можете сделать это для костей с любым числом сторон (включая добавление разных).

(кстати, это также легко в чем-то вроде R или Matlab, который будет делать свертки)

Начните с чистого листа, в несколько столбцов, и двигайтесь вниз по ряду строк сверху (более 6).

1. поместите значение 1 в ячейку. Это вероятности, связанные с 0 кубиками. поставьте 0 слева; это столбец значений - продолжайте вниз с 1,2,3, насколько вам нужно.

2. переместить один столбец вправо и вниз на строку от «1». введите формулу "= сумма (", затем стрелка вверх влево (чтобы выделить ячейку с 1 в нем), нажмите ":" (чтобы начать ввод диапазона) и затем стрелку вверх 5 раз, а затем ") / 6 "и нажмите Enter - так вы получите формулу =sum(c4:c9)/6 (где здесь C9ячейка с 1 в ней).

   

   Затем скопируйте формулу и вставьте ее в 5 ячеек под ней. Каждый из них должен содержать 0,16667 (ish).

   

   Не вводите ничего в пустые ячейки, к которым относятся эти формулы!

3. переместитесь вниз 1 и вправо 1 от вершины этого столбца значений и вставьте ...

   

   ... в общей сложности еще 11 значений. Это будут вероятности для двух кубиков.

   

   Неважно, если вы вставите несколько слишком много, вы просто получите нули.

4. повторите шаг 3 для следующего столбца для трех кубиков, и снова для четырех, пяти и т.д. кубиков.

   

   Здесь мы видим, что вероятность броска на 4d6 равна 0,096451 (если вы умножите на вы сможете записать это как точную дробь).4 $12$$4^6$

Если вы знакомы с Excel - например, копирование формулы из ячейки и вставка во многие ячейки в столбце, вы можете сгенерировать все таблицы, скажем, до 10d6 примерно за минуту (возможно, быстрее, если вы это сделали несколько раз).

---

Если вы хотите рассчитывать комбинации вместо вероятностей, не делите на 6.

Если вам нужны кости с разным количеством граней, вы можете сложить (а не 6) ячеек, а затем разделить на . Вы можете смешивать кубики по столбцам (например, сделать столбец для d6 и один для d8, чтобы получить функцию вероятности для d6 + d8):$k$$k$

Приблизительное решение

Я объяснил точное решение ранее (см. Ниже). Сейчас я предложу приблизительное решение, которое может лучше удовлетворить ваши потребности.

Позволять:

с я = 1 , . , , $X_i$ быть результатом рулоне , с которыми сталкиваются в кости , где .$s$$i=1, ... n$

$S$ будет суммой всех кубиков.$n$

$\bar{X}$ будет средним по выборке.

По определению имеем:

$\bar{X} = \frac{\sum_iX_i}{n}$

Другими словами,

$\bar{X} = \frac{S}{n}$

Идея теперь состоит в том, чтобы визуализировать процесс наблюдения как результат бросания одной и той же кости раз вместо результата бросания игральных костей. Таким образом, мы можем вызвать центральную предельную теорему (игнорируя технические особенности, связанные с переходом от дискретного распределения к непрерывному), мы имеем как :${X_i}$$n$$n$$n \rightarrow \infty$

$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

где,

$\mu = (s+1)/2$ - среднее число бросков одной кости и

$\sigma^2 = (s^2-1)/12$ - это связанная дисперсия.

Вышеприведенное, очевидно, является приблизительным, поскольку базовое распределение имеет дискретную поддержку.$X_i$

Но,

$S = n \bar{X}$ .

Таким образом, мы имеем:

$S \sim N(n \mu, n \sigma^2)$ .

Точное решение

В Википедии есть краткое объяснение того, как рассчитать необходимые вероятности. Я более подробно остановлюсь на том, почему объяснение там имеет смысл. В максимально возможной степени я использовал подобные обозначения к статье Википедии.

Предположим, что у вас есть кубиков, каждый из которых имеет граней, и вы хотите вычислить вероятность того, что один бросок из всех кубиков в сумме составит . Подход заключается в следующем:$n$$s$$n$$k$

Определение:

$F_{s,n}(k)$ : вероятность того, что вы получите всего за один бросок из кубиков с гранями.$k$$n$$s$

По определению имеем:

$F_{s,1}(k) = \frac{1}{s}$

Выше указано, что если у вас есть только одна игральная кость с гранями, вероятность получения полного между 1 и s является знакомой .$s$$k$$\frac{1}{s}$

Рассмотрим ситуацию, когда вы бросаете два кубика. Вы можете получить сумму следующим образом: первый бросок - от 1 до а соответствующий бросок для второго - от до . Таким образом, мы имеем:$k$$k-1$$k-1$$1$

$F_{s,2}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-1}{F_{s,1}(i) F_{s,1}(k-i)}$

Теперь рассмотрим бросок из трех кубиков: вы можете получить сумму если вы бросите 1 к на первых кубиках, а сумма на оставшихся двух кубиках составит от до . Таким образом,$k$$k-2$$k-1$$2$

$F_{s,3}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-2}{F_{s,1}(i) F_{s,2}(k-i)}$

Продолжая приведенную выше логику, получаем уравнение рекурсии:

$F_{s,n}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-n+1}{F_{s,1}(i) F_{s,n-1}(k-i)}$

Смотрите ссылку на Википедию для более подробной информации.

Характеристические функции могут сделать вычисления с участием сумм и разностей случайных величин действительно легкими. Mathematica имеет множество функций для работы со статистическими распределениями, включая встроенную функцию для преобразования распределения в его характеристическую функцию.

Я хотел бы проиллюстрировать это на двух конкретных примерах: (1) Предположим, что вы хотите определить результаты броска костей с разным числом сторон, например, бросить два шестигранных кубика плюс один восьмигранный кубик (т.е. , 2d6 + d8 )? Или (2) предположим, что вы хотели найти разницу между двумя бросками костей (например, d6-d6 )?

Простой способ сделать это - использовать характеристические функции лежащих в основе дискретных равномерных распределений. Если случайная величина имеет массовую функцию вероятности , то ее характеристическая функция является просто дискретным преобразованием Фурье от , то есть . Теорема говорит нам:f φ X ( t ) f φ X ( t ) = F { f } ( t ) = E [ e i t X$X$ $f$$\varphi_X(t)$$f$$\varphi_X(t) = \mathcal{F}\{f\}(t) = E[e^{i t X}]$

Если независимые случайные величины и имеют соответствующие функции вероятности масс и , то pmf суммы этих RV является сверткой их pmfs .$X$$Y$$f$$g$$h$$X + Y$$h(n) = (f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n-m)$

Мы можем использовать свойство свертки преобразований Фурье, чтобы переформулировать это более просто с точки зрения характеристических функций:

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и равна произведению их характеристических функций .$\varphi_{X+Y}(t)$$X$$Y$$\varphi_{X}(t) \varphi_{Y}(t)$

Эта функция Mathematica сделает характеристическую функцию для s-сторонней матрицы:

MakeCf [s_]: = 
 Модуль [{Cf}, 
  Cf: = CharacteristicFunction [DiscreteUniformDistribution [{1, s}], 
    т];
  Cf]

PMF распределения может быть восстановлен из его характеристической функции, потому что преобразования Фурье обратимы. Вот код Mathematica, чтобы сделать это:

RecoverPmf [Cf_]: = 
  Модуль [{F}, 
    F [y_]: = SeriesCoefficient [Cf /. t -> -I * Log [x], {x, 0, y}];
    F]

Продолжая наш пример, пусть F будет pmf, полученным в результате 2d6 + d8.

F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]

Есть результатов. Область поддержки F: . Три минуты, потому что вы бросаете три кубика. А двадцать - это максимум, потому что . Если вы хотите увидеть изображение F, вычислить$6^2 \cdot 8 = 288$$S=\{3,\ldots,20\}$$20 = 2 \cdot 6 + 8$

In: = F / @ Range [3, 20]

Out = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}

Если вы хотите узнать количество результатов, равное 10, вычислите

In: = 6 ^ 2 8 F [10]

Out = 30

Если независимые случайные величины и имеют соответствующие функции вероятности масс и , то pmf разности этих RV является взаимной корреляцией их pmfs .$X$$Y$$f$$g$$h$$X - Y$$h(n) = (f \star g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n+m)$

Мы можем использовать свойство взаимной корреляции преобразований Фурье, чтобы переформулировать это более просто с точки зрения характеристических функций:

Характеристическая функция разности двух независимых случайных величин равна произведению характеристической функции и ( Примечание: отрицательный знак перед переменной t во второй характеристической функции).$\varphi_{X-Y}(t)$${X,Y}$$\varphi_{X}(t)$$\varphi_{Y}(-t)$

Итак, используя Mathematica, найти pmf G d6-d6:

G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]

Есть результатов. Область поддержки G: . -5 мин, потому что . И 5 это максимум, потому что . Если вы хотите увидеть изображение G, вычислить$6^2 = 36$$S=\{-5,\ldots,5\}$$-5=1-6$$6-1=5$

In: = G / @ Range [-5, 5]

Out = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}

Вот еще один способ вычислить распределение вероятности суммы двух кубиков вручную, используя свертки.

Чтобы сделать пример по-настоящему простым, мы рассчитаем распределение вероятностей суммы трехстороннего кристалла (d3), случайную переменную которого мы назовем X, и двустороннего кристалла (d2), случайную переменную которого мы будем позвони Ю.

Вы собираетесь сделать стол. В верхнем ряду напишите распределение вероятностей X (результаты проверки справедливости d3). Внизу в левом столбце запишите распределение вероятностей Y (результаты проверки справедливой d2).

Вы собираетесь построить внешнее произведение верхнего ряда вероятностей с левым столбцом вероятностей. Например, нижняя правая ячейка будет произведением Pr [X = 3] = 1/3 раза Pr [Y = 2] = 1/2, как показано на прилагаемом рисунке. В нашем упрощенном примере все ячейки равны 1/6.

Далее вы будете суммировать по наклонным линиям матрицы внешнего произведения, как показано на прилагаемой диаграмме. Каждая наклонная линия проходит через одну или несколько ячеек, которые я закрасил одинаково: верхняя линия проходит через одну синюю ячейку, следующая линия проходит через две красные ячейки и так далее.

Каждая из сумм вдоль наклонов представляет вероятность в полученном распределении. Например, сумма эритроцитов равна вероятности суммирования двух костей до 3. Эти вероятности показаны в правой части сопровождающей диаграммы.

Эту технику можно использовать с любыми двумя дискретными распределениями с конечной поддержкой. И вы можете применять его итеративно. Например, если вы хотите узнать распределение трех шестигранных кубиков (3d6), вы можете сначала вычислить 2d6 = d6 + d6; тогда 3d6 = d6 + 2d6.

Существует бесплатный (но закрытая лицензия) язык программирования под названием J . Это основанный на массивах язык с его корнями в APL. Он имеет встроенные операторы для выполнения внешних произведений и сумм вдоль наклонов в матрицах, что делает метод, который я иллюстрировал, довольно простым для реализации.

В следующем коде J я определяю два глагола. Сначала глагол dсоздает массив, представляющий pmf s-стороннего штампа. Например, d 6это pmf 6-стороннего штампа. Во-вторых, глагол convнаходит внешнее произведение двух массивов и сумм вдоль наклонных линий. Итак conv~ d 6, выведите PMF из 2d6:

д =: $%
ко =: + // @ (* /).
|: (2 + i.11) ,: conv ~ d 6
 2 0.0277778
 3 0.0555556
 4 0,0833333
 5 0.111111
 6 0,138889
 7 0,166667
 8 0,138889
 9 0.111111
10 0.0833333
11 0.0555556
12 0.0277778

Как видите, J загадочен, но лаконичен.

Это на самом деле удивительно сложный вопрос. К счастью для вас, существует точное решение, которое очень хорошо объяснено здесь:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Вероятность, которую вы ищете, определяется уравнением (10): «Вероятность получения p очков (бросок p) на n s-сторонних кубиках».

В вашем случае: p = наблюдаемый результат (сумма всех кубиков), n = количество кубиков, s = 6 (шестигранный кубик). Это дает вам следующую функцию вероятности массы:

$$P(X_n = p) = \frac{1}{s^n} \sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/6\rfloor} (-1)^k {n \choose k} {p-6k-1 \choose n-1}$$

Люблю имя пользователя! Отлично сработано :)

Результатами, которые вы должны посчитать, являются броски костей, все из них, как показано в вашей таблице.$6\times 6=36$

Например, времени, когда сумма равна , и времени, когда сумма равна , и времени, когда сумма является суммой. это , и так далее.$\frac{1}{36}$$2$$\frac{2}{36}$$3$$\frac{4}{36}$$4$

Вы можете решить это с помощью рекурсивной формулы. В этом случае вероятности бросков с кубиками рассчитываются по броскам с кубиком.$n$$n-1$

$$a_n(l) = \sum_{l-6 \leq k \leq l-1 \\ \text{ and } n-1 \leq k \leq 6(n-1)} a_{n-1}(k)$$

Первым пределом для k в сумме являются шесть предыдущих чисел. Например, если вы хотите бросить 13 с 3 кубиками, то вы можете сделать это, если ваши первые два кубика выпадут между 7 и 12.

Вторым пределом для k в сумме являются пределы того, что вы можете бросить с n-1 кубиком.

Результат:

1 1 1  1  1   1
1 2 3  4  5   6   5  4   3   2   1
1 3 6  10 15  21  25 27  27  25  21  15  10  6    3   1
1 4 10 20 35  56  80 104 125 140 146 140 125 104  80  56  35  20  10   4   1
1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1  

---

редактировать: приведенный выше ответ был ответ от другого вопроса, который был объединен в вопрос С.Росс

Приведенный ниже код показывает, как вычисления для этого ответа (на вопрос, требующий 5 кубиков) были выполнены в R. Они аналогичны суммированию, выполненному в Excel в ответе Глена Б.

# recursive formula
nextdice <- function(n,a,l) {
  x = 0
  for (i in 1:6) {
    if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) {
      x = x+a[l-i-(n-2)]
    }
  }
  return(x)  
}  

# generating combinations for rolling with up to 5 dices
a_1 <- rep(1,6)
a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)})
a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)})
a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)})
a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})

$X_n=k$$x^{k}$

$$\left(\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1}{6}\right)^n=\left(\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}\right)^n$$

Так, например, с шестью кубиками и целью$k=22$ , вы найдете . Эта ссылка (на вопрос math.stackexchange) дает и другие подходы$P(X_6=22)= \frac{10}{6^6}$