Пусть - взаимно независимые случайные величины, каждая из которых имеет гамма-распределение с параметрами показывают, что , имеют совместное распределение как
Объединенный pdf из Затем, чтобы найти совместную pdf изя не могу найти якобиан, т. Е.
Пусть - взаимно независимые случайные величины, каждая из которых имеет гамма-распределение с параметрами показывают, что , имеют совместное распределение как
Объединенный pdf из Затем, чтобы найти совместную pdf изя не могу найти якобиан, т. Е.
Ответы:
Якобианы - абсолютные детерминанты изменения функции переменной - кажутся грозными и могут быть сложными. Тем не менее, они являются неотъемлемой и неизбежной частью расчета многомерного изменения переменной. Казалось бы, для этого ничего нет, кроме как записать матрицу производных на k + 1 и выполнить расчет.
Есть лучший способ. Это показано в конце в разделе «Решение». Поскольку цель этого поста - познакомить статистиков с тем, что может быть новым методом для многих, большая часть этого посвящена объяснению механизма, лежащего в основе решения. Это алгебра дифференциальных форм . (Дифференциальные формы - это то, что объединяется в нескольких измерениях.) Приведен подробный, проработанный пример, чтобы помочь сделать его более знакомым.
Более века назад математики разработали теорию дифференциальной алгебры для работы с «производными высшего порядка», которые встречаются в многомерной геометрии. Определитель является частным случаем базовых объектов, которыми манипулируют такие алгебры, которые обычно представляют собой чередующиеся полилинейные формы . Прелесть этого в том, насколько простыми могут стать вычисления.
Вот все, что вам нужно знать.
Дифференциала является выражением вида « ». Это конкатенация " d " с любым именем переменной.
Единая форма - это линейная комбинация дифференциалов, таких как или даже x 2 d x 1 - exp ( x 2 ) d x 2 . То есть коэффициенты являются функциями переменных.
Формы можно «умножить», используя произведение клина , написанное . Это произведение антикоммутативно (также называется чередующимся ): для любых двух одноформных ω и η ,
Это умножение является линейным и ассоциативным: другими словами, оно работает в привычной манере. Непосредственным следствием является то, что , подразумевая, что квадрат любой одной формы всегда равен нулю. Это делает умножение чрезвычайно простым!
Для целей манипулирования подынтегральные , которые появляются в расчетах вероятности, выражение , как может быть понято как | д х 1 ∧ д х 2 ∧ ⋯ ∧ д х к + 1 | ,
Когда является функцией, то ее дифференциал задается дифференцированием:
is, up to sign, simply the coefficient of that appears in computing
after expanding each of the as a linear combination of the in rule (5).
The simplicity of this definition of a Jacobian is appealing. Not yet convinced it's worthwhile? Consider the well-known problem of converting two-dimensional integrals from Cartesian coordinates to polar coordinates , where . The following is an utterly mechanical application of the preceding rules, where "" is used to abbreviate expressions that will obviously disappear by virtue of rule (3), which implies .
The point of this is the ease with which such calculations can be performed, without messing about with matrices, determinants, or other such multi-indicial objects. You just multiply things out, remembering that wedges are anti-commutative. It's easier than what is taught in high school algebra.
Let's see this differential algebra in action. In this problem, the PDF of the joint distribution of is the product of the individual PDFs (because the are assumed to be independent). In order to handle the change to the variables we must be explicit about the differential elements that will be integrated. These form the term . Including the PDF gives the probability element
(The normalizing constant has been ignored; it will be recovered at the end.)
Staring at the definitions of the a few seconds ought to reveal the utility of introducing the new variable
giving the relationships
This suggests making the change of variables in the probability element. The intention is to retain the first variables along with and then integrate out . To do so, we have to re-express all the in terms of the new variables. This is the heart of the problem. It's where the differential algebra takes place. To begin with,
Note that since , then
Consider the one-form
It appears in the differential of the last variable:
The value of this lies in the observation that
because, when you expand this product, there is one term containing as a factor, another containing , and so on: they all disappear. Consequently,
Whence (because all products disappear),
The Jacobian is simply , the coefficient of the differential product on the right hand side.
The transformation is one-to-one: its inverse is given by for and . Therefore we don't have to fuss any more about the new probability element; it simply is
That is manifestly a product of a Gamma distribution (for ) and a Dirichlet distribution (for ). In fact, since the original normalizing constant must have been a product of , we deduce immediately that the new normalizing constant must be divided by , enabling the PDF to be written