Сходится ли нормальное распределение к определенному, если стандартное отклонение растет без границ? мне кажется, что pdf начинает выглядеть как равномерное распределение с границами, заданными . Это правда?
Сходится ли нормальное распределение к определенному, если стандартное отклонение растет без границ? мне кажется, что pdf начинает выглядеть как равномерное распределение с границами, заданными . Это правда?
Ответы:
Другие ответы, уже здесь, делают большую работу по объяснению, почему гауссовые RV не сходятся ни к чему, когда дисперсия увеличивается без границ, но я хочу указать на, казалось бы, однородное свойство, которое удовлетворяет такая группа гауссиан , что, я думаю, могло бы достаточно, чтобы кто-то догадался, что они становятся единообразными, но оказывается, что он недостаточно силен, чтобы сделать вывод.
Рассмотрим набор случайных величин где . Пусть - фиксированный интервал конечной длины, и для некоторого определим , т. Е. есть но просто смещено на . Для интервала определите как длину и обратите внимание, что .
Сейчас я докажу следующий результат:
Результат : при .
Я называю это однородным, потому что он говорит, что распределение все чаще имеет два фиксированных интервала одинаковой длины с одинаковой вероятностью, независимо от того, насколько далеко они могут быть друг от друга. Это определенно очень однородная особенность, но, как мы увидим, это ничего не говорит о фактическом распределении сходящемся к однородному.
Pf: обратите внимание, что где поэтому Я могу использовать (очень грубую) оценку, что чтобы получить
Я могу сделать то же самое для чтобы получить
Собрав их вместе, я имею при (здесь я использую неравенство треугольника).
Чем это отличается от сходящегося в равномерном распределении? Я только что доказал, что вероятности, заданные для любых двух фиксированных интервалов одной и той же конечной длины, становятся все ближе и ближе, и это интуитивно понятно, так как плотности «сглаживаются» с точки зрения и
Но для того, чтобы сходился в равномерном распределении, мне нужно, чтобы направлялся к пропорции для любого интервала , и это совсем другое дело, потому что это должно применяться к любому , а не только к одному фиксированному заранее (и, как уже упоминалось, это также невозможно даже для дистрибутива с неограниченной поддержкой).
Распространенная ошибка в вероятности - думать, что распределение однородно, потому что оно выглядит визуально плоским, когда все его значения близки к нулю. Это связано с тем, что мы склонны видеть, что и, тем не менее, , то есть небольшой интервал вокруг в 1000 раз больше вероятно, чем небольшой интервал вокруг .
Он определенно не является равномерным по всей реальной линии в пределе, так как нет равномерного распределения по . На даже не приблизительно одинаков .
Последнее видно из правила 68-95-99.7, с которым вы, похоже, знакомы. Если бы он был приблизительно одинаковым для , то вероятность нахождения в и должна быть одинаковой, так как два интервала одинаковы длина. Но это не тот случай: , но .
При просмотре по всей реальной линии эта последовательность нормальных распределений не сходится ни к какому распределению вероятности. Есть несколько способов увидеть это. Например, cdf нормали со стандартным отклонением имеет вид и для всех , что не является cdf для любой случайной величины. На самом деле это вообще не cdf.
Причиной этой не сходимости сводится к «потере массы» является предел. Ограничивающая функция нормального распределения фактически «потеряла» вероятность (т.е. она улетела в бесконечность). Это связано с концепцией строгости мер , которая дает необходимые условия для последовательности случайных переменных сходиться к другой случайной переменной.
Ваше утверждение, что pdf начинает выглядеть как равномерное распределение с границами, заданными неверно, если вы настроите для соответствия более широкому стандартному отклонению.
Рассмотрим эту диаграмму двух нормальных плотностей с центром в нуле. Красная кривая соответствует стандартному отклонению а синяя кривая - стандартному отклонению , и это действительно тот случай, когда синяя кривая почти плоская на
но для синей кривой с мы должны смотреть на ее форму на . Изменение масштаба по осям и по коэффициентам дает следующий график, и вы получаете точно такую же форму для плотности синего цвета на этом более позднем графике, что и плотность красного цвета на предыдущем графике
Ваш вопрос в корне ошибочный. Стандартное нормальное распределение масштабируется таким образом , что . Таким образом, для некоторого другого распределения Гаусса ( ) тогда кривая между границами имеет ту же форму, что и стандартное нормальное распределение. Единственная разница - коэффициент масштабирования. Так что если вы масштабируете гауссиану путем деления на , то вы получите стандартное нормальное распределение.
Теперь, если у вас есть распределение Гаусса ( ), тогда yes as , область между становится все более плоской.