Какова вероятность того, что задано ?

Предположим, что $X$ и $Y$ двумерные нормальные со средним $\mu=(\mu_1,\mu_2)$ и ковариацией $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \\ \end{bmatrix}$ . Какова вероятность $\Pr\left(X<Y|\min\left(X,Y\right)\right)$ ?

probability normal-distribution conditional-probability

— Майк
источник

@ whuber правильно спасибо, удалил мои мысли, потому что они ничего не добавляют здесь.

— AdamO

\frac{P r (m < Y | X = m)}{P r (m < Y | X = m) + P r (m < X | Y = m)}

$\frac{Pr(m<Y|X=m)}{Pr(m<Y|X=m)+Pr(m<X|Y=m)}$

— Секст Эмпирик,

полезная ссылка stats.stackexchange.com/questions/30588/… Это вопрос для самостоятельного изучения?

— Секст Эмпирик

Вы должны поделиться своими мыслями о проблеме, независимо от того, что это похоже на вопрос для самостоятельного изучения.

— StubbornAtom

Ответы:

Использование чуть более явного обозначения , где - действительное число, а не случайная величина. Множество, на котором является L-образным путем с двумя полуоткрытыми сегментами: один идет прямо вверх от точки а другой идет прямо вправо из этой же точки. Понятно, что на вертикальной ножке и на горизонтальной ножке . $P(X<Y|\min(X, Y)=m)$ $m$ $\min(X,Y) = m$ $(m,m)$ $x<y$ $x>y$

Учитывая эту геометрическую интуицию, легко переписать задачу в эквивалентной форме, где в числителе у нас есть только вертикальная ветвь, где а в знаменателе мы имеем сумму двух ветвей. $x<y$

$P(X<Y|\min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

Поэтому теперь нам нужно вычислить два выражения вида . Такие условные вероятности двумерного нормального распределения всегда имеют нормальное распределение с параметрами: $P(m<X|Y=m)$ $\mathcal{N}\left(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m}\right)$

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \tag{3}$

Обратите внимание, что в исходном определении проблемы ссылался на элементы ковариационной матрицы, в отличие от более распространенного соглашения об использовании для стандартного отклонения. Ниже мы найдем более удобным использовать для дисперсии и для стандартного отклонения условного распределения вероятностей. $\sigma_{ij}$ $\sigma$ $s^2$ $s$

Зная эти два параметра, мы можем вычислить вероятность, чем из кумулятивной функции распределения. $m<X$

$P(m<X|Y=m) = \Phi \left(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \right) \tag{4}$

mutatis mutandis , у нас есть аналогичное выражение для . Позволять $P(Y>m|X=m)$

$z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5}$

а также

$z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6}$

Тогда мы можем компактно написать полное решение в терминах этих двух оценок: $z$

$P(X<Y|\min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \tag{7}$

На основе кода моделирования, предоставленного автором вопроса, мы можем сравнить этот теоретический результат с результатами моделирования:

— olooney
источник

В (3) я думаю, что левая часть должна иметь квадрат, потому что это условная дисперсия, а стандартное отклонение используется позже.

— Ив

Вы совершенно правы @Yves, и я считаю, что мои последние исправления устранили проблему. Спасибо.

— olooney

@Looney, спасибо за этот ответ. Я могу следить за выводом, и это кажется правильным. Тем не менее, я попытался проверить (1) и (7) в симуляции, и результаты были довольно разными. Вы можете увидеть мой код R здесь gist.github.com/mikeguggis/d041df05565f63f8be2c6c51f5cf8961

— Майк

@mike, я думаю, что у меня была ошибка знака. После исправления этого теоретический результат, кажется, согласуется с результатами моделирования. gist.github.com/olooney/e88a66d2d2fa7f2f0cd0d0dd6b708739

— olooney

@Looney, хороший улов. Я до сих пор не могу понять, почему две оценки на основе моделирования не совпадают (строки 30-32 в моем коде).

— Майк

Вопрос может быть переписан с использованием модифицированной версии теоремы Байеса (и злоупотребления понятием для ) $Pr$

\begin{aligned} P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) & = \frac{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y)}{P r (m i n (X, Y) = m | X < Y) P r (X < Y) + P r (m i n (X, Y) = m | X \geq Y) P r (X \geq Y)} \\ = \frac{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m)}{P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) + P r (X \geq Y, m i n (X, Y) = m)} . \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) &= \frac{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)}{Pr(min(X,Y)=m|X<Y)Pr(X<Y)+Pr(min(X,Y)=m|X\geq Y)Pr(X\geq Y)}\\ &= \frac{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)}{Pr(X<Y,min(X,Y)=m)+Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m)}. \end{align}$

Определите как двумерный PDF из и , и . затем $f_{X,Y}$ $X$ $Y$ $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}x^2)$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x\phi(t)dt$

\begin{aligned} P r (X < Y, m i n (X, Y) = m) & = P r (X = m, Y > m) \\ = \int_{m}^{\infty} f_{X, Y} (m, t) d t \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X<Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X=m,Y>m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(m,t)dt \end{align}$

а также

\begin{aligned} п р (Икс \geq Y, м я N (Икс, Y) знак равно м) & знак равно п р (Икс \geq м, Y знак равно м) \\ знак равно \int_{м}^{\infty} е_{Икс, Y} (T, м) d T \end{aligned}

$\begin{align} Pr(X\geq Y,min(X,Y)=m) &=Pr(X\geq m,Y=m) \\ &= \int_m^\infty f_{X,Y}(t,m)dt \end{align}$

Используя нормальность и определение условной вероятности, подынтегральные выражения можно переписать как

е_{Икс, Y} (м, T) знак равно е_{Y | Икс} (T) е_{Икс} (м) знак равно \frac{1}{\sqrt{σ_{Y | Икс}}} φ (\frac{T - μ_{Y | Икс}}{\sqrt{σ_{Y | Икс}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} φ (\frac{м - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})

$f_{X,Y}(m,t) = f_{Y|X}(t)f_X(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)$

а также

е_{Икс, Y} (T, м) знак равно е_{Икс | Y} (T) е_{Y} (м) знак равно \frac{1}{\sqrt{σ_{Икс | Y}}} φ (\frac{T - μ_{Икс | Y}}{\sqrt{σ_{Икс | Y}}}) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} φ (\frac{м - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}}),

$f_{X,Y}(t,m) = f_{X|Y}(t)f_Y(m) = \frac{1}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\phi\left(\frac{t-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right).$

Где

μ_{Икс | Y} знак равно μ_{1} + \frac{σ_{12}}{σ_{22}} (м - μ_{2}),

$\mu_{X|Y} = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(m-\mu_2),$

μ_{Y | Икс} знак равно μ_{2} + \frac{σ_{12}}{σ_{11}} (м - μ_{1}),

$\mu_{Y|X} = \mu_2 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(m-\mu_1),$

σ_{X | Y} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{11}

$\sigma_{X|Y} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{11}$

а также

σ_{Y | X} = (1 - \frac{σ_{12}^{2}}{σ_{11} σ_{22}}) σ_{22} .

$\sigma_{Y|X} = \left(1-\frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}\right)\sigma_{22}.$

таким образом

P r (X < Y | m i n (X, Y) = m) = \frac{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}})}{(1 - Φ (\frac{m - μ_{Y | X}}{\sqrt{σ_{Y | X}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{11}}} ϕ (\frac{m - μ_{1}}{\sqrt{σ_{11}}}) + (1 - Φ (\frac{m - μ_{X | Y}}{\sqrt{σ_{X | Y}}})) \frac{1}{\sqrt{σ_{22}}} ϕ (\frac{m - μ_{2}}{\sqrt{σ_{22}}})} .

$\begin{equation} Pr(X<Y|min(X,Y) = m) = \frac{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)}{\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{Y|X}}{\sqrt{\sigma_{Y|X}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\phi\left(\frac{m-\mu_1}{\sqrt{\sigma_{11}}}\right)+\left(1-\Phi\left(\frac{m-\mu_{X|Y}}{\sqrt{\sigma_{X|Y}}}\right)\right)\frac{1}{\sqrt{\sigma_{22}}}\phi\left(\frac{m-\mu_2}{\sqrt{\sigma_{22}}}\right)}. \end{equation}$

Эта окончательная форма очень похожа на результат, полученный @olooney. Разница в том, что его вероятности не взвешены по нормальной плотности.

Сценарий R для числовой проверки можно найти здесь

— Майк
источник