Ответы:
Поскольку вы имеете дело с обычными данными IID, стоит немного обобщить вашу проблему, чтобы взглянуть на случай, когда у вас есть и вы хотите . (Ваш вопрос соответствует случаю, когда ) Как отмечали другие пользователи, сумма квадратов нормальных случайных величин IID является масштабированной нецентральной случайной величиной хи-квадрат , и поэтому можно получить интересующую дисперсию от знания этого распределения. Однако также возможно получить требуемую дисперсию, используя обычные правила моментов в сочетании со знанием моментов нормального распределения . Я покажу вам, как сделать это ниже, по шагам.
Нахождение отклонения с использованием моментов нормального распределения: поскольку значения являются IID (и принимая за общее значение из этого распределения), у вас есть: где мы обозначаем необработанные моменты как . Эти необработанные моменты можно записать в терминах центральных моментов и среднего используя
стандартные формулы преобразования , и мы можем затем найти центральные моменты нормального распределения и подставить их в.
Используя формулы преобразования моментов, вы должны получить: Для распределения мы имеем среднее и центральные моменты высшего порядка , и . Это дает нам необработанные моменты:
Теперь попробуйте подставить их обратно в исходное выражение, чтобы найти интересующую дисперсию.
Подстановка обратно в первое выражение дает: Для особого случая, когда вас . Можно показать, что этот результат соответствует решению, которое вы получили бы, если бы использовали альтернативный метод получения вашего результата из масштабированного нецентрального распределения хи-квадрат.
Альтернативная работа, основанная на использовании нецентрального распределения хи-квадрат: Поскольку мы имеем:Используя известную дисперсию этого распределения, мы имеем: Этот результат совпадает с результатом выше.
Если и являются независимыми случайными величинами, то является случайной величиной .
Как вы думаете, вы можете взять его оттуда?
Ответ в нецентральном распределении хи-квадрат .
Например, если b = 1, ответ на ваш вопрос: , где - количество компонентов ( и ).