Нормальное распределение


8

Есть проблема статистики, я, к сожалению, понятия не имею, с чего начать (я учусь самостоятельно, поэтому я не могу никого спросить, если я чего-то не понимаю.

Вопрос в том

X,Y iidN(a,b2);a=0;b2=6;var(X2+Y2)=?

Ответы:


6

Поскольку вы имеете дело с обычными данными IID, стоит немного обобщить вашу проблему, чтобы взглянуть на случай, когда у вас есть и вы хотите . (Ваш вопрос соответствует случаю, когда ) Как отмечали другие пользователи, сумма квадратов нормальных случайных величин IID является масштабированной нецентральной случайной величиной хи-квадрат , и поэтому можно получить интересующую дисперсию от знания этого распределения. Однако также возможно получить требуемую дисперсию, используя обычные правила моментов в сочетании со знанием моментов нормального распределения . Я покажу вам, как сделать это ниже, по шагам.X1,...,XnIID N(a,b2)QnV(i=1nXi2)n=2


Нахождение отклонения с использованием моментов нормального распределения: поскольку значения являются IID (и принимая за общее значение из этого распределения), у вас есть: где мы обозначаем необработанные моменты как . Эти необработанные моменты можно записать в терминах центральных моментов и среднего используяX1,...,XnX

QnV(i=1nXi2)=i=1nV(Xi2)=nV(X2)=n(E(X4)E(X2)2)=n(μ4μ22),
μkE(Xk)μkE((XE(X))k)μ1=E(X)стандартные формулы преобразования , и мы можем затем найти центральные моменты нормального распределения и подставить их в.

Используя формулы преобразования моментов, вы должны получить: Для распределения мы имеем среднее и центральные моменты высшего порядка , и . Это дает нам необработанные моменты:

μ2=μ2+μ12,μ3=μ3+3μ1μ2+μ13,μ4=μ4+4μ1μ3+6μ12μ2+μ14.
XN(a,b2)μ1=aμ2=b2μ3=0μ4=3b4
μ2=b2+a2,μ3=3ab2+a3,μ4=3b4+6a2b2+a4.
Теперь попробуйте подставить их обратно в исходное выражение, чтобы найти интересующую дисперсию.

Подстановка обратно в первое выражение дает: Для особого случая, когда вас . Можно показать, что этот результат соответствует решению, которое вы получили бы, если бы использовали альтернативный метод получения вашего результата из масштабированного нецентрального распределения хи-квадрат.

Qn=n(μ4μ22)=n[(3b4+6a2b2+a4)(b2+a2)2]=n[(3b4+6a2b2+a4)(b4+2a2b2+a4)]=n[2b4+4a2b2]=2nb2(b2+2a2).
n=2Q2=4b2(b2+2a2)

Альтернативная работа, основанная на использовании нецентрального распределения хи-квадрат: Поскольку мы имеем:Используя известную дисперсию этого распределения, мы имеем: Этот результат совпадает с результатом выше.Xi/bN(a/b,1)

i=1n(Xib)2Non-central Chi-Sq(k=n,λ=na2b2).
QnV(i=1nXi2)=b4V(i=1n(Xib)2)=b42(k+2λ)=2b4(n+2na2b2)=2nb2(b2+2a2).

2
Спойлер теги не нужны и отвлекают.
Алексис

3

Если и являются независимыми случайными величинами, то является случайной величиной .XYN(a,b2)(Xab)2+(Yab)2χ2(2)

Как вы думаете, вы можете взять его оттуда?


Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.