«Поскольку

Короткий вопрос: почему это правда ??

Длинный вопрос:

Очень просто, я пытаюсь выяснить, что оправдывает это первое уравнение. Автор книги, которую я читаю (контекст здесь, если вы хотите, но не обязательно), утверждает следующее:

Из-за предположения о почти гауссовости мы можем написать:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

Где - это PDF ваших наблюдаемых данных, который имеет максимальную энтропию, учитывая, что вы наблюдали только серию ожиданий, (простые числа) , где , а - это PDF стандартизированной гауссовой переменной, то есть 0 среднее и единичная дисперсия. $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

Все, что происходит, это то, что он использует приведенное выше уравнение в качестве отправной точки для упрощения PDF, , и я понимаю, как он это делает, но я не понимаю, как он оправдывает приведенное выше уравнение, т.е. отправная точка. $p_0(\xi)$

Я старался быть кратким, чтобы не запутывать кого-либо, но если вам нужны дополнительные детали, пожалуйста, дайте мне знать в комментариях. Спасибо!

— ошалевший
источник

(Примечание: я изменил ваш на .) $\xi$ $x$

Для случайной величины с плотностью , если у вас есть ограничения $X$ $p$ Для , максимальная плотность энтропии

\int г_{я} (Икс) п (Икс) d Икс знак равно с_{я},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

Где

«s определяются из

» с, ипостоянная нормировки.

п_{0} (Икс) знак равно A ехр (Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} г_{я} (Икс)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

В этом контексте гауссовское приближение («почти гауссовость») означает две вещи:

1) Вы соглашаетесь ввести два новых ограничения: среднее значение равно а дисперсия равна (скажем); $X$ $0$ $1$

2) Соответствующее (см. Ниже) намного больше, чем остальные . $a_{n+2}$ $a_i$

Эти дополнительные ограничения представлены как

г_{N + 1} (Икс) знак равно Икс, с_{N + 1} знак равно 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

г_{N + 2} (Икс) знак равно {Икс}^{2}, с_{N + 2} знак равно 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$

п_{0} (Икс) знак равно A ехр (a_{N + 2} {Икс}^{2} + a_{N + 1} Икс + Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} г_{я} (Икс)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

п_{0} (Икс) знак равно A ехр (\frac{{Икс}^{2}}{2} - \frac{{Икс}^{2}}{2} + a_{N + 2} {Икс}^{2} + a_{N + 1} Икс + Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} г_{я} (Икс)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

п_{0} (Икс) знак равно A^{'} φ (Икс) ехр (a_{N + 1} Икс + (a_{N + 2} + \frac{1}{2}) {Икс}^{2} + Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} г_{я} (Икс));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$

$\exp(t)\approx 1+t$

п_{0} (Икс) \approx A^{'} φ (Икс) (1 + a_{N + 1} Икс + (a_{N + 2} + \frac{1}{2}) {Икс}^{2} + Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} г_{я} (Икс)),

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

\int п_{0} (Икс) d Икс знак равно 1, \int Икс п_{0} (Икс) d Икс знак равно 0, \int {Икс}^{2} п_{0} (Икс) d Икс знак равно 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int г_{я} (Икс) п_{0} (Икс) d Икс знак равно с_{я}, я знак равно 1, ..., N,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

$G_i$

— Zen
источник

μ = 0

$\mu=0$

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$