Я пытаюсь написать функцию, которая генерирует равномерно распределенный шум, который исходит от шара с p-нормой измерений:$n$

Я нашел возможные решения для кругов ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), однако у меня возникли проблемы с расширением этого для различных значений .$p = 2$$p$

Я попытался сделать это, просто рисуя случайную выборку из равномерного распределения и перерисовывая ее, когда она не соответствует заданному ограничению. Однако, помимо того, что это уродливое решение, оно также становится вычислительно неосуществимым для больших размеров.

Я нашел полное решение в документе, предложенном kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ). Честно говоря, мне сложно понять математику, но возможный алгоритм довольно прост. если у нас есть измерений, радиус и норма чем:р $n$$r$$p$

1) сгенерировать независимых случайных вещественных скаляров , где - обобщенное гауссово распределение (с другой степенью в показатель вместо просто )ε i = ˉ G ( 1 / p , p ) ˉ G ( μ , σ 2 ) e - | х | р р = $n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

2) построить вектор из компонентов , где - независимые случайные знакиs i ∗ ε i s $x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

3) Генерация , где - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1].$z = w^{1/n}$$w$

4) вернуть$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Использование однородно распределенных многомерных переменных

Taeke предоставляет ссылку на статью, которую текст ниже делает более интуитивно понятным, объясняя конкретно 2-нормальные и 1-нормальные случаи.

$\Vert x \Vert_2 \leq r$

направление образца

Вы можете использовать этот результат http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

Многомерная гауссовская распределенная переменная (с единичной ковариационной матрицей) зависит только от расстояния или суммы квадратов.$X$

Таким образом, равномерно распределен по поверхности n-мерной гиперсферы.$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

расстояние образца

Для завершения вам нужно только сэмплировать расстояние, чтобы изменить однородное распределение на сфере на однородное распределение в шаре. (что более или менее похоже на ваш связанный пример для выбора точки диска)

Если бы вы просто выбрали как равномерное распределение, то у вас была бы относительно более высокая плотность вблизи центра (объем масштабируется как поэтому часть точек окажется в объеме , который является более плотным рядом с центром и не будет означать равномерное распределение)$r$ г р $r^n$$r$$r^n$

Если вместо этого вы используете корень переменной, выбранной из равномерного распределения, то вы получите четное распределение.$n$

1-норма$\Vert x \Vert_1 \leq r$

направление

В этом случае вы выбираете из распределения Лапласа вместо распределения Гаусса и делите на 1-норму. равномерно распределена на п-мерный 1-норма сферы.$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

У меня нет формальных доказательств, просто интуиция

^{(поскольку pdf не зависит от позиции, можно ожидать, что любая бесконечно малая область / объем с одинаковой 1-нормой будет иметь одинаковую вероятность а когда вы свернете ее на единичную поверхность, то же самое )f ( $f(x) dV$$f(x) dA$}

но тестирование с симуляциями выглядит хорошо.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

расстояние

Расстояние становится таким же, как в случае с 2-мя нормами (объем все еще масштабируется как ).$r^n$

p-норма$\Vert x \Vert_p \leq r$

В этом случае, если вы хотите следовать тому же принципу, вам нужно будет выбрать из распределений с помощью (я предполагаю). Это обобщенные нормальные распределения и, вероятно, они относятся к распределению упомянутому Тэке.$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$