Независимость статистики от гамма-распределения

9

Пусть - случайная выборка из гамма-распределения . $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Пусть и - выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. $\bar{X}$ $S^2$

Затем докажите или опровергните, что и независимы. $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

Моя попытка: Так как , нам нужно проверить независимостьи, но как мне установить независимость между ними? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— bellcircle
источник

2

Рассмотрим преобразование Лапласа совместной суммы и вектор пропорций . Это ; вы можете показать, что это произведение функции и функции .

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$

W

$\mathbf{W}$

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

— Ив

@ Yves Не могли бы вы проверить мой ответ, опубликованный ниже?

— колокольчик

4

Есть симпатичная, простая, интуитивно понятная демонстрация для целой $\alpha.$ Он опирается только на хорошо известные свойства равномерного распределения, гамма-распределения, пуассоновских процессов и случайных величин и выглядит следующим образом:

Каждый - это время ожидания, пока не точки пуассоновского процесса. $X_i$ $\alpha$
Таким образом, сумма является временем ожидания, пока не точек этого процесса. Давайте назовем эти точки $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
Условно на первые точки независимо равномерно распределены между и $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
Поэтому отношения независимо равномерно распределены между и В частности, их распределения не зависят от $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
Следовательно, любая (измеримая) функция не зависит от $Z_i/Y$ $Y.$
Среди таких функций: (где квадратные скобки обозначают статистику порядка ).
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

На этом этапе просто отметьте, что можно записать явно как (измеримую) функцию и, следовательно, не зависит от $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— Whuber
источник

3

Вы хотите доказать , что среднее и rv.s независимы, или что то же самое , что сумма и коэффициентов независимы. Мы можем доказать несколько более общий результат, предполагая, что может иметь разные формы , но с тем же масштабом который можно считать равным $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ . $\beta = 1$

$U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

Отказ от ответственности . Этот вопрос относится к теореме Лукача о пропорционально-суммовой независимости , следовательно, к статье Юджина Лукача «Характеристика гамма-распределения» . Я только что извлек здесь соответствующую часть этой статьи (а именно стр. 324) с некоторыми изменениями в обозначениях. Я также заменил использование характеристической функции преобразованием Лапласа, чтобы избежать изменений переменных, включающих комплексные числа.

— Ив
источник

1

(+1) За статью о характеристике гамма-распределения.

— StubbornAtom

1

Пусть . Обратите внимание, что является вспомогательной статистикой , т.е. ее распределение не зависит от . $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

Поскольку - полная достаточная статистика , она не зависит от по теореме Басу, поэтому вывод следует. $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

Я не уверен в построении вспомогательной статистики, поскольку она не зависит только от , а не . $\beta$ $\alpha$

— bellcircle
источник

α

$\alpha$