Может кто-нибудь объяснить понятие «взаимозаменяемость»?


41

Я вижу, что понятие «взаимозаменяемости» используется в разных контекстах (например, в байесовских моделях), но я никогда не понимал этот термин очень хорошо.

  1. Что означает эта концепция?

  2. При каких обстоятельствах применяется эта концепция и почему?

Ответы:


44

Взаимозаменяемость предназначена для захвата симметрии в проблеме, симметрии в том смысле, что не требует независимости. Формально последовательность заменяема, если ее совместное распределение вероятностей является симметричной функцией от ее аргументов. Интуитивно это означает, что мы можем обмениваться или переупорядочивать переменные в последовательности без изменения их совместного распределения. Например, каждая последовательность IID (независимая, одинаково распределенная) может быть заменена, но не наоборот. Однако каждая обменная последовательность распределяется одинаково.N

Представьте себе стол с кучей урн наверху, каждый из которых содержит различные пропорции красных и зеленых шариков. Мы выбираем урну случайным образом (согласно некоторому предварительному распределению), а затем берем образец (без замены) из выбранной урны.

Обратите внимание, что красные и зеленые цвета, которые мы наблюдаем, НЕ являются независимыми. И, возможно, неудивительно, что последовательность красных и зеленых, которые мы наблюдаем, является взаимозаменяемой. Что это может быть удивительно, что каждая заменяемая последовательность можно представить таким образом, при подходящем выборе урн и априорного распределения. (см. Diaconis / Freedman (1980) «Конечные обменные последовательности», Ann. Prob.).

Эта концепция применяется во всех видах мест, и она особенно полезна в байесовских контекстах, потому что в этих условиях у нас есть предварительное распределение (наши знания о распределении урн на столе), и у нас есть вероятность бегать (модель, которая слабо представляет процедуру выборки из заданной, фиксированной, урны). Мы наблюдаем последовательность красных и зеленых (данные) и используем эту информацию, чтобы обновить наши убеждения относительно конкретной урны в нашей руке (то есть нашей задней), или, в более общем смысле, урны на столе.

Сменные случайные переменные особенно замечательны, потому что если у нас их бесконечно много, то у нас под рукой есть томаты математических машин, не последним из которых является теорема де Финетти; см. Википедию для введения.


10
(+1) Предположение о взаимозаменяемости также лежит в основе тестов перестановок.
ЧЛ

9
Учитывая вопрос о том, когда и почему взаимозаменяемости, указатель chl на тесты перестановки может заслуживать нескольких дополнительных слов. Тесты перестановки являются непараметрическим методом, используемым, когда нормальность и подобные предположения несостоятельны - вместо этого используется гораздо более слабое «нулевое предположение» об обменности, аппроксимируется распределение статистики теста при этом нулевом предположении (путем перестановки) и проверяется, является ли фактически наблюдаемый тест статистика экстремальна по сравнению с этим нулевым распределением. Есть доступная книга П. Гуда "Перестановочные, параметрические и тесты гипотез".
С. Коласса - Восстановить Монику

@ Стефан, мне нравится эта книга! Тем не менее, взаимозаменяемость слабее, чем независимость ...
ЧЛ

Большое спасибо за этот полезный ответ, GJK, и за заметки о тестах перестановки, @StephanKolassa и chi. Однако я не совсем понимаю, какую роль в этом примере играют несколько урн. Последовательность красных и зеленых будет заменена на одну, урну, верно? Что добавляет возможность нескольких урн (несколько распределений)?
Марс

3
Я бы не стал доверять ничему в этой книге Good. Однажды я заметил ошибку в этой книге, написал его и получил довольно вульгарный ответ.
kjetil b halvorsen
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.