Какова интуиция, лежащая в основе различий второго порядка?

Иногда временную серию необходимо различать, чтобы сделать ее стационарной. Однако я не понимаю, как различие второго порядка может помочь сделать его стационарным, когда различие первого порядка недостаточно.

Не могли бы вы дать интуитивное объяснение различий второго порядка и случаев, когда это необходимо?

Разность второго порядка является дискретной аналогией со второй производной. Для дискретного временного ряда разность второго порядка представляет кривизну ряда в данный момент времени. Если разность второго порядка положительна, то временной ряд в это время изгибается вверх, а если он отрицательный, то временной ряд в это время изгибается вниз.

Разность второго порядка дискретного временного ряда в момент времени t :$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Две мысли:

Рекурсия . После разницы в первом порядке, что у вас есть? Еще один временной ряд, который при правильных условиях ближе к стационарному. Если он недостаточно близок, у вас теперь есть временной ряд, который не является стационарным, и вы хотите переместить его ближе к стационарному, поэтому вы берете разницу первого порядка. (Это разность второго порядка исходного временного ряда.) Если разностный временной ряд не достаточно близок к стационарному, вы ... [рекурсивно] ...

Производные . Представьте, что вы записываете местоположение вашего автомобиля каждые 10 минут. Если бы я мог взять точки GPS за любые два дня и показать их вам, и вы не могли бы выяснить, какой это был день - возможно, даже не могли бы отличить один день от другого - ваши данные о местоположении были бы неподвижен.

Но скажете, что вы ездили в разные близлежащие города каждый день в течение двух недель? Вы легко сможете определить разницу между днями - возможно, даже точно зная, какой день я показывал вам. Не стационарный.

Возможно, если вместо этого каждые 10 минут вы будете записывать расстояние от дома, это сделает ваши данные более стационарными. Расстояние не включает в себя направление, поэтому, возможно, теперь ваши данные за эти две недели будут выглядеть примерно одинаково? (Среднее местоположение дома, например.)

Скажем, вместо этого вы решили ехать из Нью-Йорка прямо в Лос-Анджелес. Трюк с расстоянием не сработает, так как ваше расстояние даст вам довольно четкое различие между днями.

Но вместо этого вы можете записывать свою скорость каждые 10 минут. Вождение по пересеченной местности по межгосударственной системе, вы бы, как правило, выглядели одинаково, с точки зрения скорости. То есть ваша скорость будет стационарной.

Скажем, местоположение в момент времени 0 $L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$