Можем ли мы отклонить нулевую гипотезу с доверительными интервалами, полученными путем выборки, а не нулевой гипотезой?

9

Меня учили, что мы можем произвести оценку параметров в форме доверительного интервала после отбора проб из популяции. Например, 95-процентные доверительные интервалы, без каких-либо нарушенных допущений, должны иметь 95-процентную вероятность успеха, содержащую какой-либо истинный параметр, который мы оцениваем, в популяции.

То есть,

Произведите точечную оценку из образца.
Создайте диапазон значений, теоретически с вероятностью 95% содержащих истинное значение, которое мы пытаемся оценить.

Однако, когда тема превратилась в проверку гипотез, шаги были описаны следующим образом:

Предположим некоторый параметр в качестве нулевой гипотезы.
Произведите распределение вероятности получения различных точечных оценок, учитывая, что эта нулевая гипотеза верна.
Откажитесь от нулевой гипотезы, если полученная нами точечная оценка будет получена менее чем в 5% случаев, если нулевая гипотеза верна.

У меня вопрос такой:

Нужно ли производить наши доверительные интервалы, используя нулевую гипотезу, чтобы отклонить нулевое значение? Почему бы просто не выполнить первую процедуру и получить нашу оценку истинного параметра (без явного использования нашего гипотетического значения при расчете доверительного интервала), а затем отвергнуть нулевую гипотезу, если она не попадает в этот интервал?

Это кажется логически эквивалентным для меня интуитивно, но я боюсь, что упускаю что-то очень фундаментальное, поскольку, вероятно, есть причина, по которой его учат таким образом.

— Nikli
источник

Приношу свои извинения за неясность, Мартейн. Скоро я отредактирую свой пост, чтобы он был понятнее людям, которые ищут такие же вопросы в будущем. Я имел в виду, что мы можем рассчитать оценку параметра из выборки или рассчитать диапазон оценок, которые, как мы считаем, подтверждают нулевую гипотезу с использованием нулевой гипотезы. Я не понимал, почему было необходимо использовать нулевое значение, чтобы увидеть, находится ли наша точечная оценка в этом интервале, вместо того, чтобы просто использовать нашу оценку параметра и проверить, находится ли нулевое значение в пределах оценки параметра. Надеюсь это имеет смысл!

— Никли

Интересный мысленный эксперимент, если кто-то пытается продать вам взвешенные кости. Они бросают их, затем утверждают, что они взвешены в том направлении, в котором вы наблюдаете (например, 6 появляется в 20% случаев). Взвешены ли они (достаточно ли было выполнено бросков образца), сколько и сколько стоит провести свои собственные (дополнительные) тесты броска костей? У продавца и покупателя разные цели ...

— Филипп Окли

5

Простая проблема, в качестве примера, дается путем проверки среднего значения нормальной популяции с известной дисперсией . Тогда опорная точка - величина, распределение которой не зависит от параметра, задается как . Критические значения удовлетворяют, в этом симметричном случае, и $\sigma^2=1$ $\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$ $z_{\alpha/2}$ $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ . $\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$

\begin{array}{rcl} 1 - α & знак равно & Pr {(\bar{Икс} - μ) / (1 / \sqrt{N}) \in (- Z_{α / 2}, Z_{α / 2})} \\ знак равно & Pr {- Z_{α / 2} ⩽ (\bar{Икс} - μ) \sqrt{N} ⩽ Z_{α / 2}} \\ знак равно & Pr {Z_{α / 2} ⩾ (μ - \bar{Икс}) \sqrt{N} ⩾ - Z_{α / 2}} \\ знак равно & Pr {- Z_{α / 2} / \sqrt{N} ⩽ μ - \bar{Икс} ⩽ Z_{α / 2} / \sqrt{N}} \\ знак равно & Pr {\bar{Икс} - Z_{α / 2} / \sqrt{N} ⩽ μ ⩽ \bar{Икс} + Z_{α / 2} / \sqrt{N}} \\ знак равно & Pr {(\bar{Икс} - Z_{α / 2} / \sqrt{N}, \bar{Икс} + Z_{α / 2} / \sqrt{N}) ∋ μ} \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$

(\bar{Икс} - Z_{α / 2} / \sqrt{N}, \bar{Икс} + Z_{α / 2} / \sqrt{N})

$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$

1 - α

$1-\alpha$

В то же время, событие в первой строке дисплея точно также является событием, что нулевая гипотеза не отклоняется для этого . Поскольку остальное содержит только эквивалентные переформулировки, ci действительно содержит все для которых ноль не отклоняется, и ссылка на «под ноль» не требуется. $\mu$ $\mu$

Вот график, аналогичный визуализации Мартейна +1 с целью показать то, что известно как двойственность между доверительными интервалами и тестами. обозначает доверительный интервал, принадлежащий некоторым а - область принятия, принадлежащую некоторой гипотезе . $C$ $\bar{x}^*$ $A(\mu_0)$ $\mu=\mu_0$

— Кристоф Ханк
источник

10

Да, вы можете заменить тест гипотезы (сравнивая выборку с гипотетическим распределением результатов теста) сравнением с доверительным интервалом, рассчитанным по выборке. Но косвенно доверительный интервал уже является своего рода проверкой гипотезы, а именно:

$\alpha$ $\alpha$

$\alpha$

пример

$P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

$\theta$ $X$

Обратите внимание, что:

$\theta$ $X$
В горизонтальном направлении вы видите доверительные интервалы Клоппера-Пирсона. Если для любого данного наблюдения X вы используете эти доверительные интервалы, то вы будете ошибаться только в 5% случаев

(потому что вы будете наблюдать только такой X, на котором вы основываете «неправильный» интервал, 5% времени)

— Секст Эмпирик
источник