Линейное преобразование нормальных гауссовских векторов

Мне трудно доказать следующее утверждение. Это дано в исследовательской работе, найденной в Google. Мне нужна помощь в доказательстве этого утверждения!

Пусть , где - ортогональная матрица, а - гауссовская. Изотопное поведение гауссовой имеющей одинаковое распределение в любом ортонормированном базисе.$X= AS$$A$$S$$S$

Как гауссов после применения на ?$X$$A$$S$

Поскольку вы не ссылались на статью, я не знаю контекста этой цитаты. Однако общеизвестным свойством нормального распределения является то, что линейные преобразования нормальных случайных векторов являются нормальными случайными векторами . Если то можно показать, что . Формальное доказательство этого результата может быть проведено довольно легко, используя характеристические функции.$\boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$$\boldsymbol{A} \boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{A}^\text{T})$

Для некоторой визуализации предположим, что распределение Гаусса масштабируется на r ^ 2, поэтому множественные независимые оси образуют пифагорейское соотношение при масштабировании по их стандартным отклонениям, из чего следует, что пересчитанный распределенный распределительный шарик становится сферическим (в n размеры) и может вращаться вокруг его центра по вашему усмотрению.

Одной из радиальных мер является расстояние Махаланобиса, и она полезна во многих практических случаях, когда применяется центральный предел ...