Свойства дискретной случайной величины

Мой курс статистики только что научил меня, что дискретная случайная величина имеет конечное число опций ... Я этого не осознавал. Я бы подумал, как набор целых чисел, это может быть бесконечным. Поиск и проверка нескольких веб-страниц, в том числе нескольких из университетских курсов, не смогли конкретно подтвердить это; однако большинство сайтов говорят, что дискретные случайные переменные являются счетными - я полагаю, что это означает, что число конечно?

Ясно, что непрерывные случайные величины бесконечны, даже если (большинство?) Часто ограничены.

Но если дискретные случайные величины имеют конечные возможности, что же тогда является бесконечным распределением целых чисел? Это не дискретно и не непрерывно? Является ли вопрос спорным, потому что переменные либо имеют тенденцию быть непрерывными и (по определению) бесконечными, либо прерывистыми и конечными?

random-variable discrete-data

— Джеймс
источник

Вы должны спросить статистику курса о геометрических и пуассоновых случайных величин

— probabilityislogic

Это онлайн, поэтому отзывы ограничены. Вы предлагаете, чтобы они были третьим (и четвертым?) Типом переменных, а не просто (!)?

— Джеймс

Распределение не является случайной величиной - и игнорирование этого различия смущает многих. Прекрасная теорема математики начала 20-го века, теорема разложения Лебега , показывает, как представить все функции распределения как состоящие из трех различных видов: «непрерывный» (который далее подразделяется на абсолютно непрерывный и непрерывный, но не переменный) и «дискретный». "

— whuber

я боюсь, что вы не очень хорошо выбираете курс

— Аксакал

Спасибо всем за ответы здесь (хотя некоторые из них у меня над головой, я признаюсь). Вероятно, мне следует обратиться к тому, что вызвало этот вопрос, так как, рассматривая его, я, возможно, неправильно его интерпретировал: вопрос «истина / ложь», в котором говорилось «Дискретная случайная переменная может принимать конечное число различных значений», считается верным; с объяснением, что утверждение «является одним из ключевых свойств дискретной случайной величины». Если бы мы опросили фермеров, спрашивая, сколько скота им принадлежит, было бы невозможно заранее определить количество, это теоретически бесконечно, но дискретно ...?

— Джеймс

Ответы:

Если это то, что сказал ваш курс, это неправильно.

Хотя дискретные распределения могут иметь конечное число возможных результатов, они не обязаны; Вы можете иметь дискретное распределение, которое имеет бесконечное число возможных результатов - количество элементов должно быть не более чем счетным.

Типичным примером будет геометрическое распределение; учитывайте количество подбрасываемых монет, пока не получите голову. Там нет конечной верхней границы на количество бросков, которые могут потребоваться. Это может занять 1 бросок, или 2, или 3, или 100, или любое другое число.

Дискретное распределение может быть отрицательным (рассмотрим разницу между двумя такими геометрически распределенными случайными величинами; это может быть любое положительное или отрицательное целое число).

Дискретное распределение не обязательно должно быть над целыми числами, как в моем примере. Это обычная ситуация, а не требование.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Так что же на самом деле делает распределение «дискретным»? :)

— Мэтью Друри

Условие состоит в том, что он имеет нулевую меру Лебега, не так ли, @matthewDrury ?. Что, в свою очередь, эквивалентно суммированию распределения, равному одному на не более чем счетном множестве.

— Therkel

Должен признать, я не знаю канонических определений. Мне любопытно, какова роль очков накопления во всем этом.

— Мэтью Друри

@Therkel Я думаю, что распределение по набору Кантора не будет считаться «дискретным».

— накопление

После проверки en.wikipedia.org/wiki/Countable_set я рад принять это как ответ; пример геометрического распределения ясен, и он, похоже, отражает консенсус ответов, представленных до сих пор.

— Джеймс

Я пишу ответ с той точки зрения, что у меня есть только очень наивное понимание теоретико-вероятностной вероятности (поэтому, эксперты, поправьте меня!).

(Действительная) случайная величина - это функция , где - выборочное пространство. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

дискретно, если , образ индуцированный , счетен. $X$ $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Однако не все случайные величины являются только дискретными или непрерывными. Есть «смешанные» случайные величины, где $X(s)$

Вы также можете иметь случайные переменные, которые не являются ни дискретными, ни непрерывными, например, распределение Кантора .

— Кларнетист
источник

На самом деле вы знаете достаточно много об абсолютно непрерывных распределениях, потому что (почти по определению) абсолютно непрерывное распределение имеет плотность. Существуют непрерывные распределения, у которых нет плотностей: архетипическим примером является распределение, индуцированное функцией Кантора .

— whuber

Если счетное изображение имеет точку накопления, будем ли мы говорить, что оно дискретное?

— Мэтью Друри

[0, 1]

$[0,1]$

Процитировать страницу википедии о непрерывных и дискретных переменных :

Если он [переменная] может принимать два конкретных реальных значения, так что он также может принимать все реальные значения между ними (даже значения, которые произвольно близки друг к другу), переменная является непрерывной в этом интервале

Следовательно, дискретная случайная переменная не обязательно должна иметь «конечное число опций», но между возможными значениями должен быть бесконечно малый разрыв. Это имеет место с распределением целых чисел, поскольку «расстояние» между двумя соседними целыми числами равно 1 и не может быть меньше этого. Поэтому переменная не является непрерывной, поскольку она не «продолжается» в этих промежутках.

Редактировать: я знаю, что, возможно, есть лучшие и / или более точные способы ответить на этот вопрос, но именно это помогло мне лично понять разницу.

— deemel
источник

0

$0$

1.

$1.$

Некоторые авторы говорят, что значения, которые произвольно сближаются, не являются дискретными, но я должен признать, что нахожу это странным (хотя, возможно, я что-то упускаю). Примером является распределение разности квадратных корней двух пуассоновских случайных переменных (в реальных приложениях: люди иногда принимают квадратные корни с переменными, которые считаются пуассоновскими, чтобы стабилизировать дисперсию, и могут интересоваться, центрированы ли парные разности в нуль). Значения могут быть произвольно близки друг к другу с таким изменением, но они всегда различны (вы можете перечислить каждое из них), ... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

A

$A$

A

$A$

Я предполагаю, что это была путаница, которую я имел в моей голове. Я обученный тополог, поэтому, когда я это слышу, определенно звучит определенно в топологическом контексте. Спасибо за разъяснение @whuber.

— Мэтью Друри