Нахождение предельных плотностей


9

Как видно из названия, я ищу предельные плотности

f(x,y)=c1x2y2,x2+y21.

До сих пор я нашел чтобы быть . Я понял это путем преобразования в полярные координаты и интегрирования через , поэтому я застрял в части предельных плотностей. Я знаю, что , но я не уверен, как решить эту проблему, не получив большой грязный интеграл, и я знаю, что ответ не должен быть большой грязный интеграл. Можно ли вместо этого найти , а затем взять чтобы найтиc32πf(x,y)drdθfx(x)=f(x,y)dyF(x,y) фх(х)dFdxfx(x)? Это кажется интуитивным способом сделать это, но я не могу найти ничего в своем учебнике, в котором говорится об этих отношениях, поэтому я не хотел делать неправильные предположения.


1
@kwak Я не уверен, почему изменение названия было необходимо ... тега "домашнее задание" должно быть достаточно.
Шейн

@Shane:> хорошо, вернулась к оригиналу.
user603 11.10.10

Ответы:


15

Геометрия помогает здесь. График представляет собой сферический купол единичного радиуса. (Из этого сразу следует, что его объем составляет половину объема единичной сферы, , откуда .) Предельные плотности задаются областями вертикальных сечений через эта сфера. Очевидно, каждое поперечное сечение является полукругом: чтобы получить предельную плотность, найдите его радиус как функцию оставшейся переменной и используйте формулу для площади круга. Нормализация полученной одномерной функции, чтобы иметь единичную площадь, превращает ее в плотность.( 4 π / 3 ) / 2 c = 3 / ( 2 π )f(4π/3)/2c=3/(2π)


Ааа, это как бы возвращается ко мне из многовариантного исчисления. Я помню, как делал такие проблемы. Как найти радиус в зависимости от оставшейся переменной? По-прежнему кажется, что у меня останется какой-то монстровый интеграл.
Джаррод

5
yx21y21y2π(1y2)/2.

О верно. Это пришло мне в голову, но это казалось слишком простым. Я думаю, я был полон решимости сделать это сложным. Спасибо!
Джаррод

Я забыл спросить: как с этим справиться?
Джаррод

2
По моему мнению, ответ Уубер заслуживает того, чтобы за него проголосовали по двум причинам. Во-первых, он отвечает на заданный вопрос, во-вторых, как модель того, как мы могли бы в будущем обрабатывать (в явном виде) вопросы с домашними заданиями: этот тип ответов фактически способствует процессу обучения и может быть лучшей политикой в ​​отношении вопроса о домашних заданиях, чем принятый. в МО / СО.
user603
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.