Сохраняются ли вероятности при преобразовании функций?

13

Я думаю, что это довольно просто, но, скажем, у меня есть случайная величина , является ли вероятность такой же, как для любой действительной непрерывной функции ? $X$ $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— Ссылка L
источник

1

Также: Как правило,

.

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Алексис

34

Это верно, только если монотонно возрастает. Если монотонно убывающая, то . Например, если , а X - обычный бросок кубика, то $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ но $P(X \leq 5) = \frac56$ . Если $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$ переключается между увеличением и уменьшением, то это еще сложнее.

Обратите внимание, что существует также тривиальный случай , в котором равен 1, если и 0 в противном случае. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Acccumulation
источник

2

+1 Я должен был добавить инъективный случай, когда это правда.

— Стефан Лоран

39

$X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Стефан Лоран
источник

2

Это связано с вопросом:

является $X \leq a$ для каждого $f(X) \leq f(a)$ ?

Там может быть много способов нарушить $f(X) \leq f(a)$ пока $X \leq a$ , Но, во всех случаях, это требует $f$ быть немонотонной функцией.

— Секст Эмпирик
источник