Может ли апостериорная вероятность быть> 1?

В формуле Байеса:

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

может ли задняя вероятность превысить 1? $P(x|a)$

Я думаю, что это возможно, если, например, предполагая, что и , и . Но я не уверен в этом, потому что это будет означать, что вероятность будет больше единицы? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— Томас Мур
источник

Надо быть точным в определении обозначения. Неясно, что представляет собой . Если - это (a) распределение вероятностей (в этом случае и являются множествами) или (b) функция массы в дискретном пространстве, то ответы, которые у вас уже есть, по существу правильны. Если понимается как функция плотности, то неверно, что . Причина придирки в том, что все три типа функций удовлетворяют правилу Байеса. Обозначение обычно используется для распределения, но использование строчных символов в качестве аргументов предполагает плотность.

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— парень

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ поэтому апостериорная вероятность не может превышать . (Задняя плотность - это другое дело - множество непрерывных распределений имеют плотности, превышающие для некоторых значений)

1

$1$

1

$1$

— Генри

Если вычисленный апостериор превышает единицу, вы где-то допустили ошибку.

— Эмиль М Фридман

@EmilMFriedman, ваш ответ неоднозначен (и, по этой причине, потенциально вреден), потому что он не указывает, относится ли он к «вычисленной апостериорной» вероятности или плотности.

— whuber

Барьер единства в вероятности может и был преодолен. Смотрите мой пост на stats.stackexchange.com/questions/4220/… .

— Марк Л. Стоун

Ответы:

Предполагаемые условия не выполняются - никогда не может быть истиной, что по определению условной вероятности : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— Холь
источник

Нет, апостериорная вероятность не может превышать единицу. Это было бы нарушением нормирующей аксиомы теории вероятностей. Используя правила условной вероятности, вы должны иметь:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Это означает, что вы не можете иметь условия неравенства, которые вы указали. (Кстати, это хороший вопрос: хорошо, что вы изучаете законы вероятности в поисках проблем. Это показывает, что вы изучаете эти вопросы с большей степенью строгости, чем большинство студентов.)

Дополнительное замечание: Стоит сделать еще одно замечание по поводу этой ситуации, касающееся логического приоритета различных характеристик вероятности. Помните, что теория вероятностей начинается с набора аксиом, которые характеризуют, что такое мера вероятности. Из этих аксиом мы можем вывести «правила вероятности», которые являются теоремами, выведенными из аксиом. Эти правила вероятности должны соответствовать аксиомам, чтобы быть действительными. Если вы когда-либо обнаружили, что правило вероятности приводит к противоречию с одной из аксиом (например, вероятность выборочного пространства больше единицы), это не приведет к фальсификации аксиомы - это приведет к фальсификации правила вероятности . Следовательно, даже если бы это было так, правило Байеса могло быпривести к апостериорной вероятности больше единицы (это не так), это не значит, что у вас может быть апостериорная вероятность больше единицы; это просто означало бы, что правило Байеса не является действительным правилом вероятности.

— Восстановить Монику
источник

Должен ли окончательный числитель быть P (x)?

— BallpointBen

Все еще показывает P (a) для меня

— BallpointBen

Предполагается, что в числителе P (a). Неравенство показывает ОП, что он не может иметь P (a | x)> P (a) / P (x), как он указал в своем вопросе.

— Восстановите Монику

Формула Байеса не может давать значения дляпревышающие. Интуитивный способ увидеть это состоит в выражениипомощью закона полной вероятности как даетчто $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

который показывает, что числитель является лишь одним из слагаемых в сумме в знаменателе, и поэтому дробь не может превышать

по значению ,

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Дилип Сарватэ
источник

+1 это самое простое доказательство для меня.

— Mehrdad

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$ не может превышать

P (A)

$P(A)$ так как

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$ и так должно быть

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ , И имеет мало отношения как таковые к формуле Байеса (как она используется в статистике для вывода апостериорных вероятностей от априорных вероятностей).

— Дилип Сарвейт