В качестве альтернативы отличному ответу Уубер, я постараюсь определить точный предел вероятности, о которой идет речь. Одним из свойств гамма-распределения является то, что суммы независимых гамма-случайных величин с одинаковым параметром скорости / масштаба также являются гамма-случайными переменными, форма которых равна сумме форм этих переменных. (Это легко доказать, используя производящие функции распределения.) В данном случае мы имеем , поэтому мы получаем сумму:X1,...Xn∼IID Gamma(3,1)
Sn≡X1+⋯+Xn∼Gamma(3n,1).
Поэтому мы можем записать точную вероятность интереса, используя CDF гамма-распределения. Если обозначает параметр формы, а обозначает интересующий аргумент, мы имеем:a=3nx=3(n−n−−√)
H(n)≡P(Sn≥3(n−n−−√))=Γ(a,x)Γ(a)=aΓ(a)aΓ(a)+xae−x⋅Γ(a+1,x)Γ(a+1).
Чтобы найти предел этой вероятности, сначала отметим, что мы можем записать второй параметр в терминах первого как где . Используя результат, показанный в Temme (1975) (уравнение 1.4, стр. 1109), мы получаем асимптотическую эквивалентность:x=a+2a−−√⋅yy=−3/2−−−√
Γ(a+1,x)Γ(a+1)∼12+12⋅erf(−y)+29aπ−−−−√(1+y2)exp(−y2).
Используя приближение Стирлинга и предельное определение экспоненциального числа, можно также показать, что:
aΓ(a)aΓ(a)+xae−x∼2π−−√⋅a⋅(a−1)a−1/22π−−√⋅a⋅(a−1)a−1/2+xa⋅ea−x−1=2π−−√⋅a⋅(1−1a)a−1/22π−−√⋅a⋅(1−1a)a−1/2+x−−√⋅(xa)a−1/2⋅ea−x−1=2π−−√⋅a⋅e−12π−−√⋅a⋅e−1+x−−√⋅ex−a⋅ea−x−1=2π−−√⋅a2π−−√⋅a+x−−√∼2πa−−−√2πa−−−√+1.
Подставляя соответствующие значения, мы получаем:
H(n)=aΓ(a)aΓ(a)+xae−x⋅Γ(a+1,x)Γ(a+1)∼2πa−−−√2πa−−−√+1⋅[12+12⋅erf(32−−√)+29aπ−−−−√⋅52⋅exp(32)].
Это дает нам предел:
limn→∞H(n)=12+12⋅erf(32−−√)=0.9583677.
Это дает нам точный предел вероятности интереса, который больше половины.