Ожидаемое значение лог-определителя матрицы Вишарта


16

Пусть , т.е. распределяется по мерному распределению Вишарта со средними и степенями свободы \ nu . Я хотел бы выражение для E (\ log | \ Lambda |), где | \ Lambda | это определитель.D × D ν Ψ ν E ( log | Λ | ) | Λ |ΛWD(ν,Ψ)D×DνΨνE(log|Λ|)|Λ|

Я немного погуглил за ответ на этот вопрос и получил противоречивую информацию. В этой статье прямо говорится, что

E(log|Λ|)=Dlog2+log|Ψ|+i=1Dψ(νi+12)
где ψ() обозначает функцию дигаммы ddxlogΓ(x) ; насколько я могу судить, статья не дает источника этого факта. Это также формула, используемая на странице Википедии для Wishart , на которой размещен текст распознавания образов епископа.

С другой стороны, Google включил эту дискуссию в связанную статью, в которой говорится, что

νD|Λ||Ψ|χν2χν12χνD+12.()
В заключение они утверждают, что
E(log|Λ|)=Dlog2Dlogν+log|Ψ|+i=1Dψ(νi+12)
который получается с использованием того факта, что E(logχν2)=log(2)+ψ(ν/2) . Я проверил этот расчет, начиная с () и, кажется, все в порядке, но у нас есть дополнительный Dlogν .

Ответы:


9

Когда я готовился опубликовать это, я смог ответить на свой вопрос. В соответствии с общим этикетом StackExchange я решил опубликовать его в любом случае в надежде, что кто-то, кто столкнется с этой проблемой, может найти это в будущем, возможно, после столкновения с теми же проблемами с источниками, что и я. Я решил ответить на него немедленно, чтобы никто не тратил на это время, так как решение неинтересно.

() не так, потому что в статье, на которую ссылались в обсуждении, использовалась другая параметризация Wishart; участники дискуссии этого не заметили. На самом деле мы должны иметь После этого исправления две формулы приводят к одному и тому же ответу.

|Λ||Ψ|χν2χν12χνD+12.()

В любом случае, я думаю, что - интересные отношения.()

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Следуя совету вероятностной логики, мы можем написать где нижний треугольник имеет элементов вне диагонали, а элементы на диагонали. Взятие определителя с обеих сторон дает немедленно.Λ=dΨ1/2LLTΨ1/2LN(0,1)χνi+12,(i=1,...,D)()


2
Мне больше нравится версия Холецкого - у вас квадратный корень из хи-квадрата по диагонали и стандартный нормаль по нижнему треугольнику.
вероятностная

@probabilityislogic Спасибо за совет! Помнить это кажется легче и полезнее.
парень

Эй, я пытаюсь получить ожидание журнала Wishart (изложенного в книге Бишопа), который выглядит сложным, вы нашли какой-нибудь источник для получения результата?
авокадо
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.