Ожидаемое значение лог-определителя матрицы Вишарта

Пусть , т.е. распределяется по мерному распределению Вишарта со средними и степенями свободы . Я хотел бы выражение для где это определитель. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Я немного погуглил за ответ на этот вопрос и получил противоречивую информацию. В этой статье прямо говорится, что

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$ где

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$ обозначает функцию дигаммы

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ ; насколько я могу судить, статья не дает источника этого факта. Это также формула, используемая на странице Википедии для Wishart , на которой размещен текст распознавания образов епископа.

С другой стороны, Google включил эту дискуссию в связанную статью, в которой говорится, что

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$ В заключение они утверждают, что

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$ который получается с использованием того факта, что

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$ . Я проверил этот расчет, начиная с

(†)

$(\dagger)$ и, кажется, все в порядке, но у нас есть дополнительный

- D \log ν

$-D\log\nu$ .

distributions wishart

— парень
источник

Когда я готовился опубликовать это, я смог ответить на свой вопрос. В соответствии с общим этикетом StackExchange я решил опубликовать его в любом случае в надежде, что кто-то, кто столкнется с этой проблемой, может найти это в будущем, возможно, после столкновения с теми же проблемами с источниками, что и я. Я решил ответить на него немедленно, чтобы никто не тратил на это время, так как решение неинтересно.

$(\dagger)$ не так, потому что в статье, на которую ссылались в обсуждении, использовалась другая параметризация Wishart; участники дискуссии этого не заметили. На самом деле мы должны иметь После этого исправления две формулы приводят к одному и тому же ответу.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

В любом случае, я думаю, что - интересные отношения. $(\dagger\dagger)$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Следуя совету вероятностной логики, мы можем написать где нижний треугольник имеет элементов вне диагонали, а элементы на диагонали. Взятие определителя с обеих сторон дает немедленно. $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— парень
источник

Мне больше нравится версия Холецкого - у вас квадратный корень из хи-квадрата по диагонали и стандартный нормаль по нижнему треугольнику.

— вероятностная

@probabilityislogic Спасибо за совет! Помнить это кажется легче и полезнее.

— парень

Эй, я пытаюсь получить ожидание журнала Wishart (изложенного в книге Бишопа), который выглядит сложным, вы нашли какой-нибудь источник для получения результата?

— авокадо