Пусть , т.е. распределяется по мерному распределению Вишарта со средними и степенями свободы \ nu . Я хотел бы выражение для E (\ log | \ Lambda |), где | \ Lambda | это определитель.D × D ν Ψ ν E ( log | Λ | ) | Λ |Λ∼WD(ν,Ψ)D×DνΨνE(log|Λ|)|Λ|
Я немного погуглил за ответ на этот вопрос и получил противоречивую информацию. В этой статье прямо говорится, что
E(log|Λ|)=Dlog2+log|Ψ|+∑i=1Dψ(ν−i+12)
где
ψ(⋅) обозначает функцию дигаммы
ddxlogΓ(x) ; насколько я могу судить, статья не дает источника этого факта. Это также формула, используемая на
странице Википедии для Wishart , на которой размещен текст распознавания образов епископа.
С другой стороны, Google включил эту дискуссию в связанную статью, в которой говорится, что
νD|Λ||Ψ|∼χ2νχ2ν−1⋯χ2ν−D+1.(†)
В заключение они утверждают, что
E(log|Λ|)=Dlog2−Dlogν+log|Ψ|+∑i=1Dψ(ν−i+12)
который получается с использованием того факта, что
E(logχ2ν)=log(2)+ψ(ν/2) . Я проверил этот расчет, начиная с
(†) и, кажется, все в порядке, но у нас есть дополнительный
−Dlogν .