Беспристрастная, положительная оценка для квадрата среднего

10

Предположим, у нас есть доступ к выборкам iid из распределения с истинным (неизвестным) средним и дисперсией , и мы хотим оценить . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Как мы можем построить объективную, всегда положительную оценку этой величины?

Взяв квадрат выборки, среднее значение смещено и будет переоценивать количество, особенно если близко к 0 и большое. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Это, возможно, тривиальный вопрос, но мои навыки Google подводят меня, как estimator of mean-squaredтолько возвращаетсяmean-squarred-error estimators

Если это облегчает дело, можно считать, что базовое распределение является гауссовым.

Решение:

Можно построить несмещенную оценку ; увидеть ответ Крумси $\mu^2$
Невозможно построить непредвзятую, всегда положительную оценку поскольку эти требования вступают в противоречие, когда истинное среднее значение равно 0; увидеть ответ Винкс $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— подмигивает
источник

Возможно, поиск для оценки квадрата среднего или оценки квадрата среднего вместо. Когда я прочитал ваш заголовок, я также был озадачен (как и Google), поэтому я отредактировал его, чтобы сделать его более интуитивным.

— Ричард Харди

10

Обратите внимание, что выборочное среднее значение также нормально распределено со средним значением и дисперсией . Это означает, что $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Если все, что вас волнует, это непредвзятая оценка, вы можете использовать тот факт, что выборочная дисперсия несмещена для . Это означает, что оценщик несмещен для . $\sigma^2$

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$

μ^{2}

$\mu^2$

— knrumsey
источник

2

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

3

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@ Winks. Именно по этой причине это пример абсурдной непредвзятой оценки.

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

13

$\mu^2$

Если истинное среднее значение равно 0, оценщик должен в ожидании вернуть 0, но ему не разрешается выводить отрицательные числа, поэтому ему также не разрешается выводить и положительные числа, как это было бы смещением. Поэтому объективный, всегда положительный оценщик этой величины должен всегда возвращать правильный ответ, когда среднее значение равно 0, независимо от выборки, что кажется невозможным.

$\mu^2$

— подмигивает
источник

2

Есть довольно старая статья Джима Бергера, подтверждающая этот факт, но я не могу отследить ее. Проблема также появляется в Монте-Карло с искажающими оценками, такими как Русская рулетка.

— Сиань