Беспристрастная, положительная оценка для квадрата среднего


10

Предположим, у нас есть доступ к выборкам iid из распределения с истинным (неизвестным) средним и дисперсией , и мы хотим оценить .μ,σ2μ2

Как мы можем построить объективную, всегда положительную оценку этой величины?

Взяв квадрат выборки, среднее значение смещено и будет переоценивать количество, особенно если близко к 0 и большое.μ~2μσ2

Это, возможно, тривиальный вопрос, но мои навыки Google подводят меня, как estimator of mean-squaredтолько возвращаетсяmean-squarred-error estimators


Если это облегчает дело, можно считать, что базовое распределение является гауссовым.


Решение:

  • Можно построить несмещенную оценку ; увидеть ответ Крумсиμ2
  • Невозможно построить непредвзятую, всегда положительную оценку поскольку эти требования вступают в противоречие, когда истинное среднее значение равно 0; увидеть ответ Винксμ2

Возможно, поиск для оценки квадрата среднего или оценки квадрата среднего вместо. Когда я прочитал ваш заголовок, я также был озадачен (как и Google), поэтому я отредактировал его, чтобы сделать его более интуитивным.
Ричард Харди

Ответы:


10

Обратите внимание, что выборочное среднее значение также нормально распределено со средним значением и дисперсией . Это означает, что Икс¯μσ2/N

E(X¯2)=E(X¯)2+Var(X¯)=μ2+σ2n

Если все, что вас волнует, это непредвзятая оценка, вы можете использовать тот факт, что выборочная дисперсия несмещена для . Это означает, что оценщик несмещен для . σ2

μ2^=X¯2S2n
μ2


2
μ2^

3
(Икс¯,S2)

@ Winks. Именно по этой причине это пример абсурдной непредвзятой оценки.
StubbornAtom

Икс1Икс2Икс1Икс2Е(Икс1Икс2)знак равноЕ(Икс1)Е(Икс2)знак равноμ2μ

13

μ2

Если истинное среднее значение равно 0, оценщик должен в ожидании вернуть 0, но ему не разрешается выводить отрицательные числа, поэтому ему также не разрешается выводить и положительные числа, как это было бы смещением. Поэтому объективный, всегда положительный оценщик этой величины должен всегда возвращать правильный ответ, когда среднее значение равно 0, независимо от выборки, что кажется невозможным.

μ2


2
Есть довольно старая статья Джима Бергера, подтверждающая этот факт, но я не могу отследить ее. Проблема также появляется в Монте-Карло с искажающими оценками, такими как Русская рулетка.
Сиань
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.