Я пытаюсь моделировать и прогнозировать временные ряды, которые являются циклическими, а не сезонными (то есть существуют сезоноподобные модели, но не с фиксированным периодом). Это должно быть возможно сделать с использованием модели ARIMA, как упомянуто в разделе 8.5 « Прогнозирование: принципы и практика» :

Значение важно, если данные показывают циклы. Чтобы получить циклические прогнозы, необходимо иметь вместе с некоторыми дополнительными условиями на параметры. Для модели AR (2) циклическое поведение имеет место, если .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Каковы эти дополнительные условия для параметров в общем случае ARIMA (p, d, q)? Я нигде не смог их найти.

Некоторая графическая интуиция

В AR-моделях циклическое поведение происходит от сложных сопряженных корней до характеристического полинома. Чтобы сначала дать интуицию, я нанес на график функции импульсного отклика ниже для двух примерных моделей AR (2).

1. Постоянный процесс со сложными корнями.
2. Постоянный процесс с настоящими корнями.

Для , корни характеристического полинома являются где - собственные значения матрицы я определю ниже. С комплексными сопряженными собственными значениями и , управляет демпфированием (где ) и контролирует частоту волны косинуса.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Подробный пример AR (2)

Давайте предположим, что у нас есть AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Вы можете написать любой AR (p) как VAR (1) . В этом случае представление VAR (1):

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ Матрица управляет динамикой и, следовательно, . Характеристическое уравнение матрицы : Собственные значения : Собственными векторами являются: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Обратите внимание, что . Формирование разложения по собственным значениям и повышение до й степени. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Реальное собственное значение приводит к затуханию при поднятии . Собственные значения с ненулевыми мнимыми компонентами приводят к циклическому поведению.$\lambda$$\lambda^k$

Собственные значения с мнимым компонентом case:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

В контексте AR (2) мы имеем сложные собственные значения, если . Поскольку является действительным, они должны входить в пары, которые являются комплексными сопряженными друг с другом.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Следуя главе 2 «Прадо и Уэста» (2010), пусть

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Вы можете показать прогноз :$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Говоря свободно, добавление комплексных конъюгатов сводит на нет их мнимую составляющую, оставляя вас с единственной затухающей волной косинуса в пространстве действительных чисел. (Обратите внимание, что мы должны иметь для стационарности.)$0 \leq r < 1$

Если вы хотите найти , , , , начните с использования формулы Эйлера, которая , мы можем написать:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

аппендикс

Примечание Запутанная терминология, предупреждение! Соотношение характеристического полинома A с характеристическим полиномом AR (p)

Другой трюк с временными рядами - использование оператора запаздывания для записи AR (p) в виде:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Замените оператор запаздывания некоторой переменной и люди часто называют как характеристический многочлен модели AR (p). Поскольку этот ответ обсуждает , это в точности характеристический многочлен от где . Корни являются обратными по отношению к собственным значениям. (Примечание: для того, чтобы модель была стационарной, вы хотите , то есть внутри единицы измерения, или, что эквивалентно, , то есть вне единицы измерения.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Ссылки

Прадо, Ракель и Майк Уэст, Временные ряды: моделирование, вычисления и умозаключения , 2010