Каковы некоторые распределения по вероятностному симплексу?

Пусть - вероятностный симплекс размерности K - 1 , т. Е. X ∈ Δ K таково, что x i ≥ 0 и ∑ i x i = 1 .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Какие дистрибутивы , которые часто (или хорошо известны, или определенные в прошлом) над существует?$\Delta_{K}$

Ясно, что есть распределения Дирихле и Логит-Нормал. Существуют ли другие дистрибутивы, которые естественно возникают в этом контексте?

Это изучается в композиционном анализе данных, есть книга Aitchison: Статистический анализ композиционных данных .

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ $n$$x$$\tilde{x}$$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$${\mathbb R}^n$, so have an inverse which I leave to you to calculate (There are also other versions of this transformation that can be used, which has maybe better mathematical properties, more about that later).

Now you can take a normal (or whatever) distribution defined on ${\mathbb R}^n$ and use this inverse transformation to define a distribution on the simplex. The possibilities are limitless, for each and every multivariate distribution on ${\mathbb R}^n$ we get a distribution on the simplex.

I will augment this post later with some examples, and more details on log-ratio transforms.