Среднее время выживания для лог-нормальной функции выживания

Я нашел множество формул, показывающих, как найти среднее время выживания для экспоненциального распределения или распределения Вейбулла, но мне значительно меньше везет для лог-нормальных функций выживания.

Учитывая следующую функцию выживания:

S (T) знак равно 1 - φ [\frac{пер (T) - μ}{σ}]

$S(t) = 1 - \phi \left[ {{{\ln (t) - \mu } \over \sigma }} \right]$

Как найти среднее время выживания? Насколько я понимаю, - это оценочный масштабный параметр, а exp ( ) из параметрической модели выживания равен . Хотя я думаю, что могу манипулировать им символически, чтобы получить t все самостоятельно после установки S (t) = 0,5, меня особенно озадачивает то, как обрабатывать в чем-то вроде R, когда на самом деле все сводится к вводу всех оценок и получению среднего время. $\sigma$ $\beta$ $\mu$ $\phi$

До сих пор я генерировал функцию выживания (и связанные кривые), вот так:

beta0 <- 2.00
beta1 <- 0.80
scale <- 1.10

exposure <- c(0, 1)
t <- seq(0, 180)
linmod <- beta0 + (beta1 * exposure)
names(linmod) <- c("unexposed", "exposed")

## Generate s(t) from lognormal AFT model

s0.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["unexposed"]) / scale)
s1.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["exposed"]) / scale)

## Plot survival
plot(t,s0.lnorm,type="l",lwd=2,ylim=c(0,1),xlab="Time",ylab="Proportion Surviving")
lines(t,s1.lnorm,col="blue",lwd=2)

Что приводит к следующему:

введите описание изображения здесь

survival

— фомиты
источник

Я предполагаю, что вы имеете в виду «среднее время выживания», а не «среднее время выживания». Среднее время выживания легко найти

t_{med} = e x p (μ)

$t_{\textrm{med}} = exp(\mu)$

— Октябрь

@ocram - Ну, это было ... просто. Преобразуйте это в ответ, и я приму. Однако из любопытства, почему вы предполагаете, что я имею в виду «средний», а не «средний»?

— Fomite

Если вы имели в виду среднее, а не среднее значение, то вы не устанавливаете S (t) = 0,5. Логнормальное распределение сильно искажено, а среднее значение и медиана отличаются. Среднее время выживания сложнее, чем медиана.

— Майкл Р. Черник

@EpiGard: Я предположил «медиана», а не «среднее» по причине, указанной Майклом С. ;-) Я собираюсь преобразовать свой комментарий в ответ.

— Октябрь

Среднее время выживания не очень сложно. Смотри мой ответ. (Различные моменты также относительно легко рассчитываются.)

— Марк Адлер

$t_{\textrm{med}}$ $S(t) = \frac{1}{2}$ $t_{\textrm{med}} = \exp(\mu)$ $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ $\Phi$

$\mu = 3$ $20.1$

введите описание изображения здесь

— ocram
источник

t = 1

$t = 1$

— кардинал

Пакет R rmsможет помочь:

require(rms)
f <- psm(Surv(dtime, event) ~ ..., dist='lognormal')
m <- Mean(f)
m   # see analytic form
m(c(.1,.2)) # evaluate mean at linear predictor values .1, .2
m(predict(f, expand.grid(age=10:20, sex=c('male','female'))))
# evaluates mean survival time at combinations of covariate values

— Фрэнк Харрелл
источник

Вероятно, весьма полезно для будущего, но сами данные о выживании не в R - они в списке для перевода в какой-то момент, но сейчас это просто коэффициенты, а все остальное сделано в SAS.

— Fomite

Вы обнаружите, что возможности анализа выживаемости R опережают возможности SAS.

— Фрэнк Харрелл

Согласовано - следовательно, «в списке для перевода», но я почти не знаю R, и хотя это немного просто, расширенные части проекта значительно сложнее и имеют существующие реализации в SAS.

— Fomite

$e^{\mu+{\sigma^2\over 2}}$ $\sigma=1.1$

— Марк Адлер
источник