Матричная форма обратного распространения с нормализацией партии

Нормализация партии была приписана существенным улучшениям производительности в глубоких нейронных сетях. Много материала в интернете показывает, как реализовать его на основе активации за активацию. Я уже реализовал backprop, используя матричную алгебру, и учитывая, что я работаю на языках высокого уровня (полагаясь Rcpp(и, в конечном итоге, на GPU) на плотное матричное умножение), вырывая все и прибегая к for-loops, возможно, замедлю мой код по существу, в дополнение к огромной боли.

Функция нормализации партии имеет вид где

$$b(x_p) = \gamma \left(x_p - \mu_{x_p}\right) \sigma^{-1}_{x_p} + \beta$$

• $x_p$ - это й узел, прежде чем он активируется$p$
• $\gamma$ и - скалярные параметры$\beta$
• $\mu_{x_p}$ и - среднее значение и SD для . (Обратите внимание, что обычно используется квадратный корень из дисперсии плюс коэффициент выдумки - давайте предположим ненулевые элементы для компактности)$\sigma_{x_p}$$x_p$

В матричной форме пакетная нормализация для всего слоя будет где

$$b(\mathbf{X}) = \left(\gamma\otimes\mathbf{1}_p\right)\odot \left(\mathbf{X} - \mu_{\mathbf{X}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_p\right)$$

• N × $\mathbf{X}$ равно$N\times p$
• $\mathbf{1}_N$ является вектором столбцов
• β $\gamma$ и теперь являются строчными векторами параметров нормализации для каждого слоя$\beta$$p$
• σ X N × p $\mu_{\mathbf{X}}$ и - это матриц, где каждый столбец является вектором по столбцам средних значений и стандартных отклонений$\sigma_{\mathbf{X}}$$N \times p$$N$
• $\otimes$ - произведение Кронекера, а - поэлементное произведение (Адамар).$\odot$

Очень простая однослойная нейронная сеть без пакетной нормализации и непрерывного результата:

$$y = a\left(\mathbf{X\Gamma}_1\right)\Gamma_2 + \epsilon$$

где

• p 1 × p $\Gamma_1$ - это$p_1 \times p_2$
• p 2 × $\Gamma_2$ - это$p_2 \times 1$
• $a(.)$ является функцией активации

Если потеря равна , то градиенты будут ∂ $R = N^{-1}\displaystyle\sum\left(y - \hat{y}\right)^2$

$$\begin{array}{lr} \frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = -2\mathbf{V}^T \hat\epsilon\\ \frac{\partial R}{\partial \Gamma_2} = \mathbf{X}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right) \\ \end{array}$$

где

• $\mathbf{V} = a\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)$
• $\hat{\epsilon} = y-\hat{y}$

При нормализации партии сеть становится или Я не знаю, как вычислить производные произведений Адамара и Кронекера. Что касается продуктов Kronecker, литература становится довольно загадочной. y = a ( ( γ ⊗ 1 N ) ⊙ ( X Γ 1 - μ X Γ 1 ) ⊙ σ - 1 X Γ 1 + ( β ⊗ 1 N ) ) Γ

$$y = a\left(b\left(\mathbf{X}\Gamma_1\right)\right)\Gamma_2$$ $$y = a\Big(\left(\gamma\otimes\mathbf{1}_N\right)\odot \left(\mathbf{X\Gamma_1} - \mu_{\mathbf{X\Gamma_1}}\right) \odot\sigma^{-1}_{\mathbf{X\Gamma_1}} + \left(\beta\otimes\mathbf{1}_N\right)\Big)\mathbf{\Gamma_2}$$

Существуют ли практические способы вычисления , и в рамках матрицы? Простое выражение, не прибегая к вычислениям по узлам?∂ R / ∂ β ∂ R / ∂ Γ $\partial R/\partial \gamma$$\partial R/\partial \beta$$\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

Обновление 1:

Я разобрался с . Это: Некоторый код R демонстрирует, что это эквивалентно циклическому способу сделать это. Сначала настройте поддельные данные:$\partial R/\partial \beta$

$$\mathbf{1}_{N}^T \left(a'(\mathbf{X}\mathbf{\Gamma}_1) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T\right)$$

set.seed(1)
library(dplyr)
library(foreach)

#numbers of obs, variables, and hidden layers
N <- 10
p1 <- 7
p2 <- 4
a <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v
}
ap <- function (v) {
  v[v < 0] <- 0
  v[v >= 0] <- 1
  v
}

# parameters
G1 <- matrix(rnorm(p1*p2), nrow = p1)
G2 <- rnorm(p2)
gamma <- 1:p2+1
beta <- (1:p2+1)*-1
# error
u <- rnorm(10)

# matrix batch norm function
b <- function(x, bet = beta, gam = gamma){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gam)) %x% matrix(rep(1, N))
  bk <- t(matrix(bet)) %x% matrix(rep(1, N))
  gk*xs+bk
}
# activation-wise batch norm function
bi <- function(x, i){
  xs <- scale(x)
  gk <- t(matrix(gamma[i]))
  bk <- t(matrix(beta[i]))
  suppressWarnings(gk*xs[,i]+bk)
}

X <- round(runif(N*p1, -5, 5)) %>% matrix(nrow = N)
# the neural net
y <- a(b(X %*% G1)) %*% G2 + u

Затем вычислите производные:

# drdbeta -- the matrix way
drdb <- matrix(rep(1, N*1), nrow = 1) %*% (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
drdb
           [,1]      [,2]    [,3]        [,4]
[1,] -0.4460901 0.3899186 1.26758 -0.09589582
# the looping way
foreach(i = 1:4, .combine = c) %do%{
  sum(-2*u*matrix(ap(bi(X[,i, drop = FALSE]%*%G1[i,], i)))*G2[i])
}
[1] -0.44609015  0.38991862  1.26758024 -0.09589582

Они совпадают. Но я все еще смущен, потому что я действительно не знаю, почему это работает. В заметках MatCalc, на которые ссылается @Mark L. Stone, говорится, что производная от должна быть$\beta \otimes \mathbf{1}_N$

$$\frac{\partial A \otimes B}{\partial A} = \left(I_{nq} \otimes T_{mp}\right)\left(I_n\otimes vec(B) \otimes I_m\right)$$ где нижние индексы , и , , являются размерами и . - это матрица коммутации, которая здесь равна 1, поскольку оба входа являются векторами. Я пробую это и получаю результат, который не кажется полезным:$m$$n$$p$$q$$A$$B$$T$

# playing with the kroneker derivative rule
A <- t(matrix(beta)) 
B <- matrix(rep(1, N))
diag(rep(1, ncol(A) *ncol(B))) %*% diag(rep(1, ncol(A))) %x% (B) %x% diag(nrow(A))
     [,1] [,2] [,3] [,4]
 [1,]    1    0    0    0
 [2,]    1    0    0    0
 snip
[13,]    0    1    0    0
[14,]    0    1    0    0
snip
[28,]    0    0    1    0
[29,]    0    0    1    0
[snip
[39,]    0    0    0    1
[40,]    0    0    0    1

Это не соответствует. Очевидно, я не понимаю эти производные правила Кронекера. Помочь с этим было бы здорово. Я все еще застрял на других производных, для и - они сложнее, потому что они не вводятся аддитивно, как .$\gamma$$\mathbf{\Gamma_1}$$\beta \otimes \mathbf{1}$

Обновление 2

Читая учебники, я вполне уверен, что и потребует использования оператора. Но я, очевидно, не в состоянии достаточно следовать выводам, чтобы можно было перевести их в код. Например, будет включать в себя получение производной от по , где (который мы можем рассматривать как постоянную матрицу на данный момент). $\partial R/\partial \Gamma_1$$\partial R/\partial \gamma$vec()$\partial R/\partial \Gamma_1$$w\odot\mathbf{X\Gamma_1}$$\mathbf{\Gamma_1}$$w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$

Мой инстинкт должен просто сказать «ответ », но это, очевидно, не работает, потому что не совместимо с .$w\odot\mathbf{X}$$w$$\mathbf{X}$

Я знаю, что

$$\partial(A \odot B) = \partial A \odot B + A \odot \partial B$$

и из этого , что

$$\frac{\partial vec(w \odot \mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} = vec(\mathbf{X\Gamma_1})I\frac{\partial vec(w)}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T} + vec(w)I\frac{\partial vec(\mathbf{X\Gamma_1})}{\partial vec(\mathbf{\Gamma_1})^T}$$ Но я не уверен, как это оценить, не говоря уже о кодировании.

Обновление 3

Делать успехи здесь. Я проснулся в 2 часа ночи прошлой ночью с этой идеей. Математика не подходит для сна.

Здесь есть после некоторого сахара:$\partial R/\partial \mathbf{\Gamma_1}$

• $w \equiv (\gamma \otimes \mathbf{1}) \odot \sigma_{\mathbf{X\Gamma_1}}^{-1}$
• $\text{"stub"} \equiv a'(b(\mathbf{X\Gamma}_1)) \odot -2\hat\epsilon \mathbf{\Gamma}_2^T$

Вот что у вас есть после того, как вы доберетесь до конца правила цепочки: Начните с этого цикла: и будут индексировать столбцы, а является согласованной единичной матрицей:

$$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_1} = \frac{\partial w \odot \mathbf{X\Gamma}_1}{\partial \Gamma_1}\left(\text{"stub"}\right)$$ $i$$j$$\mathbf{I}$ $$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(w_i \odot \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$$ $$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \left(\mathbf{I} w_i \mathbf{X_i}\right)^T\left(\text{"stub"}_j\right)$$ $$\frac{\partial R}{\partial \Gamma_{ij}} = \mathbf{X_i}^T\mathbf{I} w_i\left(\text{"stub"}_j\right)$$ tl; dr вы в основном предварительно умножаете заглушку на масштабные коэффициенты batchnorm. Это должно быть эквивалентно: $$\frac{\partial R}{\partial \Gamma} = \mathbf{X}^T\left(\text{"stub"}\odot w\right)$$

И на самом деле это:

stub <- (-2*u %*% t(G2) * ap(b(X%*%G1)))
w <- t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)) * (apply(X%*%G1, 2, sd) %>% t %x% matrix(rep(1, N)))
drdG1 <- t(X) %*% (stub*w)

loop_drdG1 <- drdG1*NA
for (i in 1:7){
  for (j in 1:4){
    loop_drdG1[i,j] <- t(X[,i]) %*% diag(w[,j]) %*% (stub[,j])
  }
}

> loop_drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965
> drdG1
           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -61.531877  122.66157  360.08132 -51.666215
[2,]   7.047767  -14.04947  -41.24316   5.917769
[3,] 124.157678 -247.50384 -726.56422 104.250961
[4,]  44.151682  -88.01478 -258.37333  37.072659
[5,]  22.478082  -44.80924 -131.54056  18.874078
[6,]  22.098857  -44.05327 -129.32135  18.555655
[7,]  79.617345 -158.71430 -465.91653  66.851965

Обновление 4

Здесь, я думаю, есть . Первый$\partial R / \partial \gamma$

• $\widetilde{\mathbf{X\Gamma}} \equiv \left(\mathbf{X\Gamma} - \mu_{\mathbf{X\Gamma}}\right)\odot \sigma^{-1}_\mathbf{X\Gamma}$
• $\tilde\gamma \equiv \gamma \otimes\mathbf{1}_N$

Как и раньше, правило цепочки приводит вас к Зацикливание дает вам Что, как и прежде, в основном является предварительным умножением заглушки. Следовательно, он должен быть эквивалентен:

$$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = \frac{\partial \tilde\gamma \odot \widetilde{\mathbf{X\Gamma}}}{\partial \tilde\gamma}\left(\text{"stub"}\right)$$ $$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma_i} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})_i^T \mathbf{I}\tilde\gamma_i \left(\text{"stub"}_i\right)$$ $$\frac{\partial R}{\partial \tilde\gamma} = (\widetilde{\mathbf{X\Gamma}})^T \left(\text{"stub"} \odot \tilde\gamma \right)$$

Это своего рода совпадения:

drdg <- t(scale(X %*% G1)) %*% (stub * t(matrix(gamma)) %x% matrix(rep(1, N)))

loop_drdg <- foreach(i = 1:4, .combine = c) %do% {
  t(scale(X %*% G1)[,i]) %*% (stub[,i, drop = F] * gamma[i])  
}

> drdg
           [,1]      [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.8580574 -1.125017  -4.876398  0.4611406
[2,] -4.5463304  5.960787  25.837103 -2.4433071
[3,]  2.0706860 -2.714919 -11.767849  1.1128364
[4,] -8.5641868 11.228681  48.670853 -4.6025996
> loop_drdg
[1]   0.8580574   5.9607870 -11.7678486  -4.6025996

Диагональ на первом совпадает с вектором на втором. Но на самом деле, поскольку производная относится к матрице, хотя и с определенной структурой, на выходе должна быть похожая матрица с такой же структурой. Должен ли я взять диагональ матричного подхода и просто принять его за ? Я не уверен.$\gamma$

Кажется, я ответил на свой вопрос, но я не уверен, что я прав. На этом этапе я приму ответ, который строго доказывает (или опровергает) то, что я вроде как взломал вместе.

while(not_answered){
  print("Bueller?")
  Sys.sleep(1)
}

Не полный ответ, но чтобы продемонстрировать то, что я предложил в своем комментарии, если где , и является вектором единиц, тогда по правилу цепочки Отметив, что и , мы видим, что

$$b(X)=(X−e_N\mu_X^T)ΓΣ_X^{-1/2}+e_N\beta^T$$ $\Gamma=\mathop{\mathrm{diag}}(\gamma)$$\Sigma_X^{-1/2}=\mathop{\mathrm{diag}}(\sigma_{X_1}^{-1},\sigma_{X_2}^{-1},\dots)$$e_N$ $$\nabla_\beta R=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(I\otimes e_N)]^T$$ $-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)=\mathop{\mathrm{vec}}(-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)^T$$J_X(a)=\mathop{\mathrm{diag}}(\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))))$ $$\nabla_\beta R=(I\otimes e_N^T)\mathop{\mathrm{vec}}(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)=e_N^T(a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T)$$ через тождество . Аналогично, где («заглушка») и - это$\mathop{\mathrm{vec}}(AXB)=(B^T\otimes A)\mathop{\mathrm{vec}}(X)$ $$\begin{align}\nabla_\gamma R&=[-2\hat{\epsilon}(\Gamma_2^T\otimes I)J_X(a)(\Sigma_{X\Gamma_1}^{-1/2}\otimes (X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T))K]^T\\&=K^T\mathop{\mathrm{vec}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\\&=\mathop{\mathrm{diag}}((X\Gamma_1-e_N\mu_{X\Gamma_1}^T)^TW\Sigma^{-1/2}_{X\Gamma_1})\end{align}$$ $W=a^\prime(b(X\Gamma_1))\odot-2\hat{\epsilon}\Gamma_2^T$$K$$Np\times p$двоичная матрица, которая выбирает столбцы произведения Кронекера, соответствующие диагональным элементам квадратной матрицы. Это следует из того, что . В отличие от первого градиента, это выражение не эквивалентно полученному вами выражению. Учитывая , что является линейной функцией WRT , не должно быть фактором в градиенте. Я оставляю градиент для OP, но я скажу, что для деривации с фиксированным создается «взрыв», которого авторы статьи стремятся избежать. На практике, вы также должны найти якобианы и WRTb γ i γ i Γ 1 w Σ X μ X$d\Gamma_{i\neq j}=0$$b$$\gamma_i$$\gamma_i$$\Gamma_1$$w$$\Sigma_X$$\mu_X$$X$ и используйте правило продукта.