Существование моментной функции и дисперсии


28

Может ли распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией иметь моментную функцию? Как насчет распределения с конечным средним и конечной дисперсией, но с бесконечно большими моментами?


4
Подсказка : если mgf существует в интервале около нуля, скажем (t0,t0) для некоторого t0>0 , то рассмотрим разложение Тейлора ex и монотонность интеграла, чтобы найти решение. :)
кардинал

2
Не обращая внимания на вопросы конвергенции (рассматривая mgf как формальный степенной ряд), что может быть mgf, если какой-либо момент не существовал?
whuber

Кардинал, не могли бы вы дать нам несколько ссылок о предложенных вами предложениях?

Ответы:


51

Этот вопрос предоставляет хорошую возможность собрать некоторые факты о функциях, генерирующих моменты ( mgf ).

В ответе ниже мы делаем следующее:

  1. Покажите, что если mgf конечен хотя бы для одного (строго) положительного значения и одного отрицательного значения, то все положительные моменты X конечны (включая нецелые моменты).
  2. Докажите, что условие в первом пункте выше эквивалентно распределению X имеющему экспоненциально ограниченные хвосты. Другими словами, хвосты X падают, по крайней мере, так же быстро, как хвосты экспоненциальной случайной величины Z (с точностью до константы).
  3. Кратко отметьте характеристику распределения по его мгф, если оно удовлетворяет условию пункта 1.
  4. Изучите некоторые примеры и контрпримеры, чтобы помочь нашей интуиции и, в частности, показать, что мы не должны понимать чрезмерную важность отсутствия конечности mgf.

Этот ответ довольно длинный, за что я заранее извиняюсь. Если это будет лучше, например, в блоге или где-то еще, пожалуйста, не стесняйтесь оставлять такие отзывы в комментариях.

Что мгф говорит о моментах?

MGF случайной величины определяется как м ( т ) = Е е т Х . Отметим, что m ( t ) всегда существует, поскольку оно является интегралом неотрицательной измеримой функции. Однако, если не может быть конечным . Если это конечное (в нужных местах), то для все р > 0 (не обязательно целых), абсолютные моменты Е | X | p < (а значит, и E X pXFm(t)=EetXm(t) p>0E|X|p<EXpконечно). Это тема следующего предложения.

Предложение : если существуют такие и t p > 0 , что m ( t n ) < и m ( t p ) < , то моменты всех порядков X существуют и конечны.tn<0tp>0m(tn)<m(tp)<X

Прежде чем погрузиться в доказательство, приведем две полезные леммы.

tntpt0[tn,tp]m(t0)<
ext0θ[0,1]t0=θtn+(1θ)tp

et0X=eθtnX+(1θ)tpXθetnX+(1θ)etpX.
Eet0XθEetnX+(1θ)EetpX<

Таким образом, если mgf конечен в любых двух разных точках, он конечен для всех значений в интервале между этими точками.

Lp0qpE|X|p<E|X|q<

Это дает нам достаточно для продолжения доказательства предложения.

tn<0tp>0t0=min(tn,tp)>0м ( т 0 ) < е - т 0 Х + е т 0 Х = 2 Е п = 0 т 2 п 0 Х 2 нm(t0)<m(t0)<k e - t 0 X + e t 0 X2 t 2 k 0 X 2 k / ( 2 k ) !

et0X+et0X=2n=0t02nX2n(2n)!,
k E e - t 0 X + E e t 0 X < E X 2 k < X
et0X+et0X2t02kX2k/(2k)!.
Eet0X+Eet0X<, Монотонность интеграла дает . Следовательно, все четные моменты конечны. Лемма 2 сразу позволяет нам «заполнить пробелы» и сделать вывод, что все моменты должны быть конечными.EX2k<X

результат

В результате возникает вопрос о том, что если какой-либо из моментов бесконечен или не существует, мы можем сразу сделать вывод, что mgf не является конечным в открытом интервале, содержащем начало координат. (Это просто противоположное утверждение утверждения.)X

Таким образом, приведенное выше предложение обеспечивает «правильное» условие, чтобы что-то сказать о моментах на основе его mgf.X

Экспоненциально ограниченные хвосты и мгф

Предложение : ФМГ конечно в открытом интервале , содержащей начало , если и только если хвосты являются экспоненциально ограничены , т для некоторых и .( t n , t p )m(t)(tn,tp)P ( | X | > x ) C e - t 0 x C > 0 t 0 > 0FP(|X|>x)Cet0xC>0t0>0

Доказательство . Мы разберемся с правильным хвостом отдельно. Левый хвост обрабатывается полностью аналогично.

() Предположим, что для некоторого . Затем правый хвост является экспоненциально ограниченным ; другими словами, существуют и такие, что Чтобы увидеть это, обратите внимание, что для любого , по неравенству Маркова, Возьмем и чтобы завершить это направление доказательства.m(t0)<t0>0FC>0b>0

P(X>x)Cebx.
t>0
P(X>x)=P(etX>etx)etxEetX=m(t)etx.
C=m(t0)b=t0

() Предположим, что существуют и такие, что . Тогда при , где первое равенство вытекает из а стандартный факт об ожидании неотрицательных случайных величин . Выберите любой такой, что ; тогда интеграл в правой части конечен.C>0t0>0P(X>x)Cet0xt>0

EetX=0P(etX>y)dy1+1P(etX>y)dy1+1Cyt0/tdy,
t0<t<t0

Это завершает доказательство.

Замечание об уникальности распределения с учетом его mgf

Если mgf конечен в открытом интервале, содержащем ноль, то ассоциированное распределение характеризуется его моментами , т.е. это единственное распределение с моментами . Стандартное доказательство коротко, как только у вас есть (относительно простые) факты о характеристических функциях . Подробности можно найти в большинстве современных вероятностных текстов (например, Биллингсли или Дарретт). В этом ответе обсуждается пара вопросов .μn=EXn

Примеры и контрпримеры

( ) Распределение Логнормальное : представляет логнормальное , если для некоторой нормальной случайной величины . Так что с вероятностью один. Поскольку для всех , это сразу говорит нам, что для всех . Таким образом, mgf конечен на неотрицательной полупрямой . ( Примечание: мы использовали только неотрицательность чтобы установить этот факт, так что это верно для всех неотрицательных случайных величин.)XX=eYYX0ex1x0m(t)=EetX1 t<0(,0]X

Однако для всех . Мы возьмем стандартное логнормальное в качестве канонического случая. Если , то . При изменении переменных мы имеем Для и достаточно больших мы имеем по приведенным выше границам. Но для любого , и, следовательно, mgf бесконечен для всех .m(t)= t>0x>0ex1+x+12x2+16x3

EetX=(2π)1/2eteuu2/2du.
t>0uteuu2/2t+tu
Ket+tudu=
Kt>0

С другой стороны, все моменты логнормального распределения конечны. Таким образом, существование mgf в интервале около нуля не является необходимым для заключения вышеупомянутого предложения .

( б ) Симметризованное логнормальное : мы можем получить еще более экстремальный случай, «симметризовав» логнормальное распределение. Рассмотрим плотность для такую ​​что Нетрудно видеть в свете предыдущего примера, что mgf конечен только для . Тем не менее, четные моменты точно такие же, как у логнормальных, а нечетные моменты равны нулю! Таким образом, mgf не существует нигде (кроме как в источнике, где он всегда существует), и все же мы можем гарантировать конечные моменты всех порядков.f(x)xR

f(x)=122π|x|e12(log|x|)2.
t=0

( c ) Распределение Коши : у этого распределения также есть mgf, который бесконечен для всех , но никакие абсолютные моменты являются конечными для . Результат для mgf следует для так как для и поэтому Доказательство при аналогично. (Может быть , несколько менее хорошо известно, что моменты для делать существуют Коши. Смотрите этот ответt0E|X|pp1t>0exx3/6x>0

EetX1t3x36π(1+x2)dxt312π1xdx=.
t<00<p<1 .)

( d ) Распределение по полу Коши : если (стандартный) Коши, вызовитеслучайная переменная полу Коши. Тогда из предыдущего примера легко увидеть, что для всех ; тем не менее, конечно для . Y = | X | E Y p = p 1 E e t Y t ( - , 0 ]XY=|X|EYp=p1EetYt(,0]


7
Спасибо за публикацию этого - это удивительно легко понять, учитывая, насколько это технически - хорошо сделано.
Макро

Знаете ли вы какие-либо результаты о мгф в гильбертовом пространстве?
Badatmath
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.