Может ли распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией иметь моментную функцию? Как насчет распределения с конечным средним и конечной дисперсией, но с бесконечно большими моментами?
Может ли распределение с конечным средним и бесконечной дисперсией иметь моментную функцию? Как насчет распределения с конечным средним и конечной дисперсией, но с бесконечно большими моментами?
Ответы:
Этот вопрос предоставляет хорошую возможность собрать некоторые факты о функциях, генерирующих моменты ( mgf ).
В ответе ниже мы делаем следующее:
Этот ответ довольно длинный, за что я заранее извиняюсь. Если это будет лучше, например, в блоге или где-то еще, пожалуйста, не стесняйтесь оставлять такие отзывы в комментариях.
Что мгф говорит о моментах?
MGF случайной величины определяется как м ( т ) = Е е т Х . Отметим, что m ( t ) всегда существует, поскольку оно является интегралом неотрицательной измеримой функции. Однако, если не может быть конечным . Если это конечное (в нужных местах), то для все р > 0 (не обязательно целых), абсолютные моменты Е | X | p < ∞ (а значит, и E X p конечно). Это тема следующего предложения.
Предложение : если существуют такие и t p > 0 , что m ( t n ) < ∞ и m ( t p ) < ∞ , то моменты всех порядков X существуют и конечны.
Прежде чем погрузиться в доказательство, приведем две полезные леммы.
Таким образом, если mgf конечен в любых двух разных точках, он конечен для всех значений в интервале между этими точками.
Это дает нам достаточно для продолжения доказательства предложения.
м ( т 0 ) < ∞ е - т 0 Х + е т 0 Х = 2 ∞ Е п = 0 т 2 п 0 Х 2 нk e - t 0 X + e t 0 X ≥ 2 t 2 k 0 X 2 k / ( 2 k ) !
результат
В результате возникает вопрос о том, что если какой-либо из моментов бесконечен или не существует, мы можем сразу сделать вывод, что mgf не является конечным в открытом интервале, содержащем начало координат. (Это просто противоположное утверждение утверждения.)
Таким образом, приведенное выше предложение обеспечивает «правильное» условие, чтобы что-то сказать о моментах на основе его mgf.
Экспоненциально ограниченные хвосты и мгф
Предложение : ФМГ конечно в открытом интервале , содержащей начало , если и только если хвосты являются экспоненциально ограничены , т для некоторых и .( t n , t p )P ( | X | > x ) ≤ C e - t 0 x C > 0 t 0 > 0
Доказательство . Мы разберемся с правильным хвостом отдельно. Левый хвост обрабатывается полностью аналогично.
Предположим, что для некоторого . Затем правый хвост является экспоненциально ограниченным ; другими словами, существуют и такие, что Чтобы увидеть это, обратите внимание, что для любого , по неравенству Маркова, Возьмем и чтобы завершить это направление доказательства.
Предположим, что существуют и такие, что . Тогда при , где первое равенство вытекает из а стандартный факт об ожидании неотрицательных случайных величин . Выберите любой такой, что ; тогда интеграл в правой части конечен.
Это завершает доказательство.
Замечание об уникальности распределения с учетом его mgf
Если mgf конечен в открытом интервале, содержащем ноль, то ассоциированное распределение характеризуется его моментами , т.е. это единственное распределение с моментами . Стандартное доказательство коротко, как только у вас есть (относительно простые) факты о характеристических функциях . Подробности можно найти в большинстве современных вероятностных текстов (например, Биллингсли или Дарретт). В этом ответе обсуждается пара вопросов .
Примеры и контрпримеры
( ) Распределение Логнормальное : представляет логнормальное , если для некоторой нормальной случайной величины . Так что с вероятностью один. Поскольку для всех , это сразу говорит нам, что для всех . Таким образом, mgf конечен на неотрицательной полупрямой . ( Примечание: мы использовали только неотрицательность чтобы установить этот факт, так что это верно для всех неотрицательных случайных величин.)
Однако для всех . Мы возьмем стандартное логнормальное в качестве канонического случая. Если , то . При изменении переменных мы имеем Для и достаточно больших мы имеем по приведенным выше границам. Но для любого , и, следовательно, mgf бесконечен для всех .
С другой стороны, все моменты логнормального распределения конечны. Таким образом, существование mgf в интервале около нуля не является необходимым для заключения вышеупомянутого предложения .
( б ) Симметризованное логнормальное : мы можем получить еще более экстремальный случай, «симметризовав» логнормальное распределение. Рассмотрим плотность для такую что Нетрудно видеть в свете предыдущего примера, что mgf конечен только для . Тем не менее, четные моменты точно такие же, как у логнормальных, а нечетные моменты равны нулю! Таким образом, mgf не существует нигде (кроме как в источнике, где он всегда существует), и все же мы можем гарантировать конечные моменты всех порядков.
( c ) Распределение Коши : у этого распределения также есть mgf, который бесконечен для всех , но никакие абсолютные моменты являются конечными для . Результат для mgf следует для так как для и поэтому Доказательство при аналогично. (Может быть , несколько менее хорошо известно, что моменты для делать существуют Коши. Смотрите этот ответ
( d ) Распределение по полу Коши : если (стандартный) Коши, вызовитеслучайная переменная полу Коши. Тогда из предыдущего примера легко увидеть, что для всех ; тем не менее, конечно для . Y = | X | E Y p = ∞ p ≥ 1 E e t Y t ∈ ( - ∞ , 0 ]