Какие формы распределения приводят к «пифагорейскому ожиданию»?

16

Пусть $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ и - независимые непрерывные случайные величины, сгенерированные из одной и той же неопределенной формы распределения, но с учетом различных значений параметров. Мне интересно найти форму параметрического распределения, для которой для всех допустимых значений параметров справедлива следующая вероятность выборки: $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

P (X > Y | θ_{X}, θ_{Y}) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

Мой вопрос: может ли кто-нибудь сказать мне непрерывную форму распределения, для которой это имеет место? Существуют ли (нетривиальные) общие условия, которые приводят к этому?

Мои предварительные мысли: если вы умножите оба параметра на любую ненулевую константу, то вероятность останется неизменной, поэтому имеет смысл, чтобы $\theta$ был своего рода параметром масштаба.

probability distributions

— Восстановить Монику
источник

1

Может быть, это поможет: en.wikipedia.org/wiki/…

— Джон Колман

1

Можете ли вы предоставить контекст или ссылки на этот вопрос?

— Сиань

17

Если мы возьмем две экспоненциальные случайные величины получаем, что и

X \sim E (θ_{X}) X \sim E (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

P (X > Y | Y = y) = \exp {- θ_{X} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

Теперь, если

E^{Y} [\exp {- θ_{X} Y}] = \int_{0}^{\infty} \exp {- θ_{X} y} θ_{Y} \exp {- θ_{Y} y} d y = \frac{θ_{Y}}{θ_{X} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

тогда

X \sim E (θ_{X}^{- 2}) X \sim E (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

$f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

P (X^{'} > Y^{'}) = P (ϕ (X) > ϕ (Y)) = P (X > Y) = \frac{θ_{X}^{2}}{θ_{X}^{2} + θ_{Y}^{2}} .

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— Сиань
источник

8

Если $X$ это Вейбулл $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ и $Y$ это независимый Вейбулл $\left( \alpha, \beta_2 \right)$ где альфа является параметром формы, а бета-версии являются масштабными параметрами, тогда известно, что

п [Икс > Y] знак равно \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

Это можно получить, следуя тому же подходу, который дан в ответе Сианя.

Теперь давай $\alpha=2$ для обоих $X$ и $Y$ , Если $X$ имеет масштабный параметр $\theta_X$ и $Y$ имеет масштабный параметр $\theta_Y,$ у нас есть

п [Икс > Y] знак равно \frac{θ_{Икс}^{2}}{θ_{Икс}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— soakley
источник

(+1): Given the vague notion of parameterisation adopted in the question, you can parametrise the Weibulls by

θ_{X}

$\theta_X$ and

θ_{Y}

$\theta_Y$ for all

α

$\alpha$ 's. So the result holds for all

α

$\alpha$ 's.

— Xi'an

Indeed, just as you have shown. I assumed the OP wanted something more direct with the parameters.

— soakley