Чем распределение Пуассона отличается от нормального распределения?

Я сгенерировал вектор, который имеет распределение Пуассона, следующим образом:

x = rpois(1000,10)

Если я использую гистограмму hist(x), распределение выглядит как знакомое нормальное распределение в форме колокольчика. Однако в одном из тестов Колмогорова-Смирнова ks.test(x, 'pnorm',10,3)говорится, что распределение значительно отличается от нормального распределения из-за очень малого pзначения.

Итак, мой вопрос: как распределение Пуассона отличается от нормального распределения, когда гистограмма выглядит так похоже на нормальное распределение?

— Лучиано
источник

Также (в качестве дополнения к ответу Дэвида): прочитайте это ( stats.stackexchange.com/a/2498/603 ) и установите размер выборки равным 100 и посмотрите, как это повлияет .

— user603

Ответы:

Распределение Пуассона дискретно, в то время как нормальное распределение непрерывно, а случайная переменная Пуассона всегда> = 0. Таким образом, критерий Колгоморова-Смирнова часто сможет определить разницу.
Когда среднее значение распределения Пуассона велико, оно становится похожим на нормальное распределение. Однако, rpois(1000, 10)даже не смотрит , что похоже на нормальное распределение (она останавливается на 0 , а правый хвост слишком длинный).
Почему вы сравниваете это с ks.test(..., 'pnorm', 10, 3)чем ks.test(..., 'pnorm', 10, sqrt(10))? Разница между 3 и невелика, но сама по себе будет иметь значение при сравнении распределений. Даже если распределение действительно нормальное, вы получите антиконсервативное распределение p-значений: $\sqrt{10}$
```
set.seed(1)

hist(replicate(10000, ks.test(rnorm(1000, 10, sqrt(10)), 'pnorm', 10, 3)$p.value))
```

введите описание изображения здесь

— Дэвид Робинсон
источник

Часто люди видят что-то неопределенно симметричное и считают, что это выглядит «нормально». Я подозреваю, что то, что видел @Ross.

— Fraijo

Обратите внимание, что тест KS обычно предполагает непрерывное распределение, поэтому полагаться на сообщаемое значение p в этом случае может (также) быть несколько подозрительным.

— кардинал

Верно: запуск hist(replicate(1000, ks.test(rpois(1000, 10), rpois(1000, 10))$p.value))показывает, что тест, сравнивающий два идентичных распределения Пуассона, будет слишком консервативным.

— Дэвид Робинсон

@Fraijo: действительно. У нас есть более общий вопрос по этой теме: если моя гистограмма показывает колоколообразную кривую, могу ли я сказать, что мои данные нормально распределены?

— Серебряная рыбка

Вот гораздо более простой способ понять это:

Вы можете смотреть на биномиальное распределение как на «мать» большинства дистрибутивов. Нормальное распределение является лишь приближением биномиального распределения, когда n становится достаточно большим. Фактически, Авраам де Моивр, по сути, обнаружил нормальное распределение, пытаясь приблизиться к биномиальному распределению, потому что оно быстро выходит из-под контроля для вычисления биномиального распределения по мере роста n, особенно когда у вас нет компьютеров ( ссылка ).

Распределение Пуассона также является еще одним приближением биномиального распределения, но оно гораздо лучше, чем нормальное распределение, когда n велико, а p мало, или, точнее, когда среднее приблизительно равно дисперсии (помните, что для биномиального распределения среднее = np и var = нп (1-р)) ( ссылка ). Почему эта конкретная ситуация так важна? По-видимому, в реальной жизни это проявляется очень часто, и поэтому у нас есть это «особое» приближение. Ниже приведен пример сценариев, в которых приближение Пуассона работает очень хорошо.

пример

У нас есть датацентр на 100 000 компьютеров. Вероятность того, что какой-либо компьютер выйдет из строя сегодня, составляет 0,001. Таким образом, в среднем np = 100 компьютеров выходят из строя в центре обработки данных. Какова вероятность того, что сегодня выйдет из строя только 50 компьютеров?

Binomial: 1.208E-8
Poisson: 1.223E-8
Normal: 1.469E-7

На самом деле, качество аппроксимации для нормального распределения идет на спад, так как мы идем в хвосте распределения, но Пуассон продолжает держаться очень хорошо. В приведенном выше примере давайте рассмотрим, какова вероятность того, что только 5 компьютеров выйдут из строя сегодня?

Binomial: 2.96E-36 
Poisson: 3.1E-36
Normal: 9.6E-22

Надеемся, что это даст вам лучшее интуитивное понимание этих 3-х дистрибутивов.

— Шиталь шах
источник

Какой удивительный и отличный ответ! Большое спасибо. :)

— Бора М. Альпер

Я думаю, что стоит упомянуть, что пуассоновский ( ) pmf является ограничивающим pmf бинома ( , ) с . $\lambda$ $n$ $p_n$ $p_n = \lambda / n$

В этом блоге можно найти одну довольно продолжительную разработку .

Но и здесь мы можем доказать это экономически. Если то для фиксированного $X_n \sim \mathrm{Binomial}(n,\lambda/n)$ $k$

\begin{aligned} P (X_{n} = k) & = \frac{n!}{k! (n - k)!} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k} \\ = \underset{\to 1}{\underset{⏟}{\frac{n! n^{- k}}{(n - k)!}}} \frac{λ^{k}}{k!} \underset{\to e^{- λ}}{\underset{⏟}{(1 - λ / n)^{n}}} \cdot \underset{\to 1}{\underset{⏟}{(1 - λ / n)^{- k}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb P(X_n = k) &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &= \underbrace{\frac{n! n^{-k}}{(n-k)!}}_{\to 1} \frac{\lambda^k}{k!}\underbrace{(1-\lambda/n)^n}_{\to e^{-\lambda}} \cdot \underbrace{(1-\lambda/n)^{-k}}_{\to 1} \>. \end{align}$

Легко видеть, что первое и последнее слагаемые сходятся к 1 при (напоминая, что фиксировано). Итак, as поскольку . $n \to \infty$ $k$

P (X_{n} = k) \to \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!},

$\mathbb P(X_n = k) \to \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \,,$

n \to \infty

$n \to \infty$

(1 - λ / n)^{n} \to e^{- λ}

$(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$

Кроме того, имеется нормальное приближение к биному, т. ( , ) . Аппроксимация улучшается при и от 0 и 1. Очевидно, что для режима Пуассона это не так (поскольку существует ), но чем больше , тем больше может быть и есть разумное нормальное приближение. $n$ $p$ $\approxeq^d \mathcal N(np, np(1-p))$ $n \rightarrow \infty$ $p$ $p_n = \lambda / n \rightarrow 0$ $\lambda$ $n$

— muratoa
источник

(+1) Добро пожаловать на сайт. Я сделал несколько правок; пожалуйста, убедитесь, что я не внес никаких ошибок в процесс. Я был не совсем уверен, что делать с самой последней фразой в последнем предложении. Некоторые дополнительные разъяснения могут быть полезны.

— кардинал

Мне нравится это направление, хотя могут быть способы более тесно связать его с рассматриваемым вопросом, сделав связь между тремя распределениями более четкой. Например, (a) биномиальная случайная величина (последовательность) действует как пуассон до тех пор, пока , (b) бином (последовательность) действует как нормаль, если приблизительно равна фиксированной константе и (c ) пуассон (последовательность) действует как нормаль для больших основном из-за его бесконечной делимости.

n p_{n} \approx λ

$n p_n \approx \lambda$

p

$p$

λ

$\lambda$

— кардинал

Хорошие комментарии @cardinal. В последнем предложении для фиксированного значения больше, чем больше тем больше (например, ближе к ). Следовательно, чем лучше нормальное приближение к биному и, в свою очередь, к пуассону.

n

$n$

λ

$\lambda$

p_{n}

$p_n$

1 / 2

$1/2$

— Муратоа

Спасибо. Я понимаю, что вы пытались сказать сейчас. Я в целом согласен с предостережением о том, что необходимо соблюдать осторожность в отношении взаимосвязи между параметрами, которые считаются фиксированными и которые варьируются в зависимости от других. :)

— кардинал

Привет Мурат и добро пожаловать на сайт! приятно видеть вас здесь, и я надеюсь, что вы останетесь здесь. +1 за объяснение, почему гистограмма пуассона очень похожа на гистограмму нормали, когда велика.

λ

$\lambda$

— Макрос