Если сумма вероятностей событий равна вероятности их объединения, означает ли это, что события не пересекаются?

Аксиоматически, вероятность - это функция которая присваивает действительное число каждому событию если оно удовлетворяет трем основным предположениям (предположениям Колмогорова):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Мой вопрос, в последнем предположении, предполагается ли обратное? Если я покажу, что вероятности для определенного числа событий могут быть добавлены, чтобы получить вероятность их объединения, могу ли я напрямую использовать эту аксиому, чтобы утверждать, что события не пересекаются?

Нет, но вы можете сделать вывод, что вероятность любых общих событий равна нулю.

Разрыв означает, что для любого . Вы не можете сделать это, но вы можете сделать вывод, что для всех . Любые общие элементы должны иметь нулевую вероятность. То же самое касается всех пересечений высшего порядка.$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Другими словами, вы можете сказать, с вероятностью 1, что ни один из наборов не может встречаться вместе. Я видел такие наборы, называемые почти непересекающимися или почти наверняка непересекающимися, но я думаю, что такая терминология не является стандартной.

Не совсем, например, рассмотрим равномерное распределение.

Пусть и и для .$A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

$P(A_1)=0.5$ и и они составляют но не являются непересекающимися. .$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Они все еще могут пересекаться с вероятностью .$0$