Задача об оценке параметров


13

Пусть и - четыре случайные переменные, такие что , где - неизвестные параметры. Также предположим, что ,Тогда какой из них является правдой?Y 1 , Y 2 , Y 3 Y1,Y2,Y3Y 4Y4 Е ( Y 1 ) = θ 1 - θ 3 ; E ( Y 2 ) = θ 1 + θ 2 - θ 3 ; E ( Y 3 ) = θ 1 - θ 3 ; E ( Y 4 ) = θ 1 - θ 2 -      θ 3 E(Y1)=θ1θ3;  E(Y2)=θ1+θ2θ3;  E(Y3)=θ1θ3;  E(Y4)=θ1θ2θ3θ 1 , & thetas ; 2 , θ 3θ1,θ2,θ3 V в г ( Y я ) = σ 2Var(Yi)=σ2 я = 1 , 2 , 3 , 4.i=1,2,3,4.

A. являются оценочными.θ 1 , θ 2 , θ 3θ1,θ2,θ3

B. заслуживает внимания.θ 1 + θ 3θ1+θ3

C. является оценочным, а является наилучшей линейной несмещенной оценкой .θ 1 - θ 3 θ1θ312 (Y1+Y3)12(Y1+Y3)θ1-θ3θ1θ3

D. является оценочным.θ 2θ2

Ответ дается C, который выглядит странно для меня (потому что я получил D).

Почему я получил D? Так как .E(Y2Y4)=2θ2E(Y2Y4)=2θ2

Почему я не понимаю, что С может быть ответом? Хорошо, я вижу, является непредвзятой оценкой , и ее дисперсия меньше, чем \ dfrac {Y_1 + Y_3} {2} .Y1+Y2+Y3+Y44Y1+Y2+Y3+Y44θ1θ3θ1θ3Y1+Y32Y1+Y32

Пожалуйста, скажите мне, где я делаю не так.

Также размещено здесь: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-parameters


1
Вставьте self-studyтег или кто-нибудь придет и закроет ваш вопрос.
Карл

@ Карл, это сделано, но почему?
Stat_prob_001

Это правила для сайта, а не мои правила, правила сайта.
Карл

Является ли Y 1Y 3Y1Y3 ?
Карл

1
@ Карл, вы можете думать так: Y 1 = θ 1 - θ 3 + ϵ 1,Y1=θ1θ3+ϵ1 где ϵ 1ϵ1 - это rv со средним 00 и дисперсией σ 2σ2 . И, Y 3 = θ 1 - θ 3 + ϵ 3,Y3=θ1θ3+ϵ3 где ϵ 3ϵ3 - это rv со средним 00 и дисперсией σ 2σ2
Stat_prob_001

Ответы:


8

Этот ответ подчеркивает проверку оцениваемости. Свойство минимальной дисперсии мое вторичное рассмотрение.

Для начала обобщим информацию в виде матричной формы линейной модели следующим образом: Y : = [ Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ] = [ 1 0 - 1 1 1 - 1 1 0 - 1 1 - 1 - 1 ] [ θ 1 θ 2 θ 3 ] + [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ] : =X β + ε ,

Y:=Y1Y2Y3Y4=111101011111θ1θ2θ3+ε1ε2ε3ε4:=Xβ+ε,(1)
гдеE(ε)=0,Var(ε)=σ2IE(ε)=0,Var(ε)=σ2I(обсудить оцениваемости, то spherity предположение не является необходимым. Но обсуждать свойство Гаусса-Маркова, мы должны взять на себя spherity изεε).

Если конструкция матрицы Х имеет полный ранг, то параметр оригинал β допускает уникальные наименьших квадратов оценки β = ( X ' X ) - 1 Х ' У . Следовательно, любой параметр φ , определяется как линейная функция ф ( р ) из р является почтенная в том смысле , что она может быть однозначно оценена с помощью данных по методу наименьших квадратов оценки β , как φ = р ' р .Xββ^=(XX)1XYϕϕ(β)ββ^ϕ^=pβ^

Тонкость возникает, когда X не имеет полного ранга. Для более подробного обсуждения мы сначала исправим некоторые обозначения и термины (я придерживаюсь принципа «Безкоординатный подход к линейным моделям» , раздел 4.8. Некоторые термины звучат излишне технически). Кроме того, обсуждение относится к общей линейной модели Y = X β + ε с X R n × k и β R k .XY=Xβ+εXRn×kβRk

  1. Регрессионный коллектор представляет собой совокупность средних векторов , как & beta ; изменяется в R к : М = { Х & beta ; : & beta ; R K } .βRk
    M={Xβ:βRk}.
  2. Параметрический функционал φ = φ ( β ) представляет собой линейный функционал р , φ ( β ) = р ' β = р 1 β 1 + + р к β к .ϕ=ϕ(β)β
    ϕ(β)=pβ=p1β1++pkβk.

Как упомянуто выше, когда rank ( X ) < k , не каждый параметрический функционал ϕ ( β ) оцениваем. Но, подождите, каково определение термина « технически оцениваем» ? Кажется, трудно дать четкое определение, не беспокоясь о небольшой линейной алгебре. Одно из определений, которое я считаю наиболее интуитивным, заключается в следующем (из той же вышеупомянутой ссылки):rank(X)<kϕ(β)

Определение 1. Параметрический функционал ϕ ( β ) оцениваем, если он однозначно определяется X β в том смысле, что ϕ ( β 1 ) = ϕ ( β 2 ) всякий раз, когда β 1 , β 2R k удовлетворяют X β 1 = X β 2 .ϕ(β)Xβϕ(β1)=ϕ(β2)β1,β2RkXβ1=Xβ2

Интерпретация. Вышеприведенное определение предусматривает, что отображение из регрессионного многообразия M в пространство параметров ϕ должно быть взаимно-однозначным, что гарантируется, когда rank ( X ) = k (т. Е. Когда само X взаимно однозначно). Когда ранг ( X ) < k , мы знаем, что существует β 1β 2 такое, что X β 1 = X β 2Mϕrank(X)=kXrank(X)<kβ1β2Xβ1=Xβ2, Вышеупомянутое оценочное определение фактически исключает те структурно-дефектные параметрические функционалы, которые приводят к самим разным значениям даже с одним и тем же значением на M , что естественно не имеет смысла. С другой стороны, оцениваемый параметрический функционал ϕ ( ) допускает случай ϕ ( β 1 ) = ϕ ( β 2 ) с β 1β 2 , если выполняется условие X β 1 = X β 2 .Mϕ()ϕ(β1)=ϕ(β2)β1β2Xβ1=Xβ2

Существуют и другие эквивалентные условия для проверки оцениваемости параметрического функционала, приведенные в той же ссылке, Предложение 8.4.

После такого подробного вступления, давайте вернемся к вашему вопросу.

A. Само β не оценивается по той причине, что rank ( X ) < 3 , что влечет за собой X β 1 = X β 2 при β 1β 2 . Хотя приведенное выше определение дано для скалярных функционалов, оно легко обобщается на вектор-функционалы.βrank(X)<3Xβ1=Xβ2β1β2

B. ϕ 1 ( β ) = θ 1 + θ 3 = ( 1 , 0 , 1 ) β не оценивается. Для этого рассмотрим β 1 = ( 0 , 1 , 0 ) и β 2 = ( 1 , 1 , 1 ) , что дает X β 1 = X β 2, но ϕ 1ϕ1(β)=θ1+θ3=(1,0,1)ββ1=(0,1,0)β2=(1,1,1)Xβ1=Xβ2(β1)=0+0=0ϕ1(β2)=1+1=2ϕ1(β1)=0+0=0ϕ1(β2)=1+1=2.

C. ϕ2(β)=θ1θ3=(1,0,1)βϕ2(β)=θ1θ3=(1,0,1)β is estimable. Because Xβ1=Xβ2Xβ1=Xβ2 trivially implies θ(1)1θ(1)3=θ(2)1θ(2)3θ(1)1θ(1)3=θ(2)1θ(2)3, i.e., ϕ2(β1)=ϕ2(β2)ϕ2(β1)=ϕ2(β2).

D. ϕ3(β)=θ2=(0,1,0)βϕ3(β)=θ2=(0,1,0)β is also estimable. The derivation from Xβ1=Xβ2Xβ1=Xβ2 to ϕ3(β1)=ϕ3(β2)ϕ3(β1)=ϕ3(β2) is also trivial.

After the estimability is verified, there is a theorem (Proposition 8.16, same reference) claims the Gauss-Markov property of ϕ(β)ϕ(β). Based on that theorem, the second part of option C is incorrect. The best linear unbiased estimate is ˉY=(Y1+Y2+Y3+Y4)/4Y¯=(Y1+Y2+Y3+Y4)/4, by the theorem below.

Theorem. Let ϕ(β)=pβϕ(β)=pβ be an estimable parametric functional, then its best linear unbiased estimate (aka, Gauss-Markov estimate) is ϕ(ˆβ)ϕ(β^) for any solution ˆββ^ to the normal equations XXˆβ=XYXXβ^=XY.

The proof goes as follows:

Proof. Straightforward calculation shows that the normal equations is [404020404]ˆβ=[111101011111]Y,

404020404β^=101111101111Y,
which, after simplification, is [ϕ(ˆβ)ˆθ2/2ϕ(ˆβ)]=[ˉY(Y2Y4)/4ˉY],
ϕ(β^)θ^2/2ϕ(β^)=Y¯(Y2Y4)/4Y¯,
i.e., ϕ(ˆβ)=ˉYϕ(β^)=Y¯.

Therefore, option D is the only correct answer.


Addendum: The connection of estimability and identifiability

When I was at school, a professor briefly mentioned that the estimability of the parametric functional ϕϕ corresponds to the model identifiability. I took this claim for granted then. However, the equivalance needs to be spelled out more explicitly.

According to A.C. Davison's monograph Statistical Models p.144,

Definition 2. A parametric model in which each parameter θθ generates a different distribution is called identifiable.

For linear model (1)(1), regardless the spherity condition Var(ε)=σ2IVar(ε)=σ2I, it can be reformulated as E[Y]=Xβ,βRk.

E[Y]=Xβ,βRk.(2)

It is such a simple model that we only specified the first moment form of the response vector YY. When rank(X)=krank(X)=k, model (2)(2) is identifiable since β1β2β1β2 implies Xβ1Xβ2Xβ1Xβ2 (the word "distribution" in the original definition, naturally reduces to "mean" under model (2)(2).).

Now suppose that rank(X)<krank(X)<k and a given parametric functional ϕ(β)=pβϕ(β)=pβ, how do we reconcile Definition 1 and Definition 2?

Well, by manipulating notations and words, we can show that (the "proof" is rather trivial) the estimability of ϕ(β)ϕ(β) is equivalent to that the model (2)(2) is identifiable when it is parametrized with parameter ϕ=ϕ(β)=pβϕ=ϕ(β)=pβ (the design matrix XX is likely to change accordingly). To prove, suppose ϕ(β)ϕ(β) is estimable so that Xβ1=Xβ2Xβ1=Xβ2 implies pβ1=pβ2pβ1=pβ2, by definition, this is ϕ1=ϕ2ϕ1=ϕ2, hence model (3)(3) is identifiable when indexing with ϕϕ. Conversely, suppose model (3)(3) is identifiable so that Xβ1=Xβ2Xβ1=Xβ2 implies ϕ1=ϕ2ϕ1=ϕ2, which is trivially ϕ1(β)=ϕ2(β)ϕ1(β)=ϕ2(β).

Intuitively, when XX is reduced-ranked, the model with ββ is parameter redundant (too many parameters) hence a non-redundant lower-dimensional reparametrization (which could consist of a collection of linear functionals) is possible. When is such new representation possible? The key is estimability.

To illustrate the above statements, let's reconsider your example. We have verified parametric functionals ϕ2(β)=θ1θ3ϕ2(β)=θ1θ3 and ϕ3(β)=θ2ϕ3(β)=θ2 are estimable. Therefore, we can rewrite the model (1)(1) in terms of the reparametrized parameter (ϕ2,ϕ3)(ϕ2,ϕ3) as follows E[Y]=[10111011][ϕ2ϕ3]=˜Xγ.

E[Y]=11110101[ϕ2ϕ3]=X~γ.

Clearly, since ˜XX~ is full-ranked, the model with the new parameter γγ is identifiable.


If you need a proof for the second part of option C, I will supplement my answer.
Zhanxiong

2
thanks! for such a detailed answer. Now, about the second part of C: I know that "best" relates to minimum variance. So, why not 14(Y1+Y2+Y3+Y4)14(Y1+Y2+Y3+Y4) is not "best"?
Stat_prob_001

2
Oh, I don't know why I thought it is the estimator in C. Actually (Y1+Y2+Y3+Y4)/4(Y1+Y2+Y3+Y4)/4 is the best estimator. Will edit my answer
Zhanxiong

6

Apply the definitions.

I will provide details to demonstrate how you can use elementary techniques: you don't need to know any special theorems about estimation, nor will it be necessary to assume anything about the (marginal) distributions of the YiYi. We will need to supply one missing assumption about the moments of their joint distribution.

Definitions

All linear estimates are of the form tλ(Y)=4i=1λiYi

tλ(Y)=i=14λiYi
for constants λ=(λi)λ=(λi).

An estimator of θ1θ3θ1θ3 is unbiased if and only if its expectation is θ1θ3θ1θ3. By linearity of expectation,

θ1θ3=E[tλ(Y)]=4i=1λiE[Yi]=λ1(θ1θ3)+λ2(θ1+θ2θ3)+λ3(θ1θ3)+λ4(θ1θ2θ3)=(λ1+λ2+λ3+λ4)(θ1θ3)+(λ2λ4)θ2.

θ1θ3=E[tλ(Y)]=i=14λiE[Yi]=λ1(θ1θ3)+λ2(θ1+θ2θ3)+λ3(θ1θ3)+λ4(θ1θ2θ3)=(λ1+λ2+λ3+λ4)(θ1θ3)+(λ2λ4)θ2.

Comparing coefficients of the unknown quantities θiθi reveals λ2λ4=0 and λ1+λ2+λ3+λ4=1.

λ2λ4=0 and λ1+λ2+λ3+λ4=1.(1)

In the context of linear unbiased estimation, "best" always means with least variance. The variance of tλtλ is

Var(tλ)=4i=1λ2iVar(Yi)+4ijλiλjCov(Yi,Yj).

Var(tλ)=i=14λ2iVar(Yi)+ij4λiλjCov(Yi,Yj).

The only way to make progress is to add an assumption about the covariances: most likely, the question intended to stipulate they are all zero. (This does not imply the YiYi are independent. Furthermore, the problem can be solved by making any assumption that stipulates those covariances up to a common multiplicative constant. The solution depends on the covariance structure.)

Since Var(Yi)=σ2,Var(Yi)=σ2, we obtain

Var(tλ)=σ2(λ21+λ22+λ23+λ24).

Var(tλ)=σ2(λ21+λ22+λ23+λ24).(2)

The problem therefore is to minimize (2)(2) subject to constraints (1)(1).

Solution

The constraints (1)(1) permit us to express all the λiλi in terms of just two linear combinations of them. Let u=λ1λ3u=λ1λ3 and v=λ1+λ3v=λ1+λ3 (which are linearly independent). These determine λ1λ1 and λ3λ3 while the constraints determine λ2λ2 and λ4λ4. All we have to do is minimize (2)(2), which can be written

σ2(λ21+λ22+λ23+λ24)=σ24(2u2+(2v1)2+1).

σ2(λ21+λ22+λ23+λ24)=σ24(2u2+(2v1)2+1).

No constraints apply to (u,v)(u,v). Assume σ20σ20 (so that the variables aren't just constants). Since u2u2 and (2v1)2(2v1)2 are smallest only when u=2v1=0u=2v1=0, it is now obvious that the unique solution is

λ=(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1/4,1/4,1/4,1/4).

λ=(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1/4,1/4,1/4,1/4).

Option (C) is false because it does not give the best unbiased linear estimator. Option (D), although it doesn't give full information, nevertheless is correct, because

θ2=E[t(0,1/2,0,1/2)(Y)]

θ2=E[t(0,1/2,0,1/2)(Y)]

is the expectation of a linear estimator.

It is easy to see that neither (A) nor (B) can be correct, because the space of expectations of linear estimators is generated by {θ2,θ1θ3} and none of θ1,θ3, or θ1+θ3 are in that space.

Consequently (D) is the unique correct answer.

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.