Разница между двумя симметричными rv также имеет симметричное распределение?

Если у меня есть два различных симметричных (относительно медианы) распределения и , является ли разность также симметричным (относительно медианы) распределением? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
источник

Распределение - это не «разница между двумя распределениями», это распределение разности между симметрично распределенными случайными величинами; Разница в распределениях будет ; который не является распределением; аналогично, разница в pdf не будет pdf ... пожалуйста, измените описание вашего заголовка

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: Я отредактировал заголовок ОП, чтобы сказать так, но в будущем, пожалуйста, продолжайте и редактируйте его самостоятельно. В разговорной речи, я думаю, все поняли, что означает ОП.

— SMCI

@smci На самом деле, я решил попросить OP сделать это, а не делать это самому по какой-либо причине (если вы проверите мой профиль, то увидите, что у меня отредактировано более 3100 сообщений - я понимаю общие правила редактирования). Спасибо за помощь, хотя. Я также думаю, что немного больше внимания с выражением того, что имеется в виду, решило бы значительную часть вопросов новичка на сайте; и я думаю, что ясность особенно важна в названии.

— Glen_b

Ответы:

Пусть и - PDF-файлы, симметричные относительно медиан и соответственно. Пока и независимы, распределение вероятности разности является сверткой и , т.е. $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

где - это просто PDF над с медианой $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Интуитивно, мы ожидаем, что результат будет симметричным относительно поэтому давайте попробуем это. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Во второй строке я использовал подстановку в интеграле. В третьей строке я использовал симметрию относительно и относительноЭто доказывает, что симметрично относительно если симметрично относительно и симметрично относительно $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Если бы и не были независимыми, а и были просто маргинальными распределениями, то нам нужно было бы знать совместное распределение,Тогда в интеграле мы должны были бы заменить наОднако только потому, что маргинальные распределения симметричны, это не означает, что совместное распределение симметрично относительно каждого из его аргументов. Таким образом, вы не можете применить аналогичные рассуждения. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Bridgeburners
источник

Это будет зависеть от отношения между и , вот контрольный пример, где и симметричны, но нет: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Таким образом, здесь медиана отличается от медианы, а не симметрична. $x-y$ $x-y$

редактировать

Это может быть понятнее в нотации @ whuber:

Рассмотрим дискретное равномерное распределение, где и связаны так, что вы можете выбрать только одну из следующих пар: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Если вы настаиваете на мышлении в полном совместном распределении, рассмотрите случай, когда может принимать любое из значений а может принимать значения и комбинация может принять любую из 25 пар. Но вероятность указанных выше пар составляет 16% каждая, а все остальные возможные пары имеют вероятность 1% каждая. Предельное распределение будет дискретным, причем каждое значение имеет вероятность 20% и, следовательно, симметрично относительно медианы 0, то же самое верно для . Возьмите большой образец из совместного дистрибутива и посмотрите только на или просто $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ и вы увидите равномерное предельное распределение (симметричное), но возьмите разницу и результат не будет симметричным. $x-y$

— Грег Сноу
источник

Я совсем не понимаю этот пример. Если может быть равно 4, а может быть равно, например, 1, то должно быть в состоянии 3, но вы не перечислите эту возможность. Может быть, я неправильно понимаю ваш пример; что это за три вектора?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— амеба

x

$x$ и не являются независимыми в его примере. Представьте, что , и являются функциями некоторой случайной переменной которая индексирует каждый вектор. Тогда, если , , , и

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

Если вы считаете, что и не являются независимыми, то вы действительно рассматриваете как двумерную случайную переменную. Таким образом, вы демонстрируете, что симметричные маргиналы не подразумевают, что совместное распределение симметрично. Это хорошее наблюдение, но обозначения в этом ответе сбивают с толку. Может быть более понятным описать данные в двумерной записи как .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@amoeba, это зависит от отношений между и , если они независимы или слабо зависимы, то да, может быть такой случай, как вы говорите, но мой пример - сильная зависимость между двумя переменными. Если X были высотой в дюймах, а y были высотой в сантиметрах, то - это возможное значение, а - это возможное значение, но не одновременно для одного и того же объекта.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— Грег Сноу

Комментарии и редакция прояснили, что вы имели в виду. Спасибо.

— амеба

Вам нужно будет принять независимость между X и Y, чтобы это сохранялось в целом. Результат следует непосредственно, поскольку распределение является сверткой симметричных функций, которая также симметрична. $X-Y$

— Moormanly
источник