Является ли распределение Гаусса частным случаем бета-распределения?

Если вы посмотрите на бета-дистрибутив с $\alpha=\beta=4$ он выглядит очень похоже на гауссовский дистрибутив . Но так ли это? Как вы можете доказать, является ли распределение бета (4,4) гауссовым или нет?

normal-distribution beta-distribution

— user1068636
источник

Их опоры такие разные.

— Глубокий север

@DeepNorth - так вы предлагаете, что гауссовые распределения не являются определенным видом бета-распределения?

— user1068636

Больше чем предлагать; если поддержка отличается, они не могут быть одинаковыми.

— Glen_b

$(-\infty,\infty)$

Давайте посмотрим поближе на сравнение. Мы стандартизируем бета-версию (4,4) так, чтобы она имела среднее значение 0 и стандартное отклонение 1 ( стандартизированная бета-версия ), и посмотрим, как плотность сравнивается со стандартным гауссианом:

$\approx$

Симметричные бета-распределения с большими значениями параметров ближе к гауссову.

В пределе, когда параметр приближается к бесконечности, стандартизированная симметричная бета приближается к стандартному нормальному распределению (пример доказательства здесь ).

$y=x$ $y=x$

$y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$