Что выше, или

Таким образом, у меня был тест вероятности, и я не мог действительно ответить на этот вопрос. Он просто спросил что-то вроде этого:

«Учитывая, что является случайной величиной, 0 , используйте правильное неравенство, чтобы доказать, что выше или равно, E (X ^ 2) ^ 3 или E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ 0 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Единственное, о чем я мог подумать, это неравенство Дженсена, но я не знаю, как его применить здесь.

Это действительно может быть доказано неравенством Дженсена.

Подсказка : обратите внимание, что для функция выпукла в (здесь вы используете предположение ). Тогда неравенство Дженсена дает а для это Другой способ обойти.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < $\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Теперь преобразуйте переменные во что-то сопоставимое и найдите соответствующую .$\alpha$

Неравенство Ляпунова (см .: Казелла и Бергер, Статистический вывод 4.7.6):

Для : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Доказательство :

По неравенству Дженсена для выпуклых :ϕ ( E X ) ≤ E [ ϕ ( x ) $\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Рассмотрим , тогда где ( E [ Y ] ) t ≤ E [ Y t ] Y = | X | $\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Замените : (E[|X|r])$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

В общем случае для это означает:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Предположим, что X имеет равномерное распределение на [0,1], тогда E (X ) = и, следовательно, E (X ) = и E ( X ) = поэтому E (X ) = . Так что в этом случае E (X ) > E (X ) . Вы можете обобщить это или найти контрпример?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$