Вопрос (слегка измененный) выглядит следующим образом, и, если вы никогда не сталкивались с ним раньше, вы можете проверить его в примере 6a, глава 2, « Первый курс вероятности» Шелдона Росса :

Предположим, что у нас есть бесконечно большая урна и бесконечный набор шаров, помеченных как шар номер 1, номер 2, номер 3 и так далее. Рассмотрим эксперимент, выполненный следующим образом: с 1 минуты до 12 часов вечера шарики с номерами от 1 до 10 помещаются в урну, и один шар удаляется случайным образом. (Предположим, что снятие не занимает много времени.) В период от 1/2 минуты до 12 часов вечера шары с номерами от 11 до 20 помещаются в урну, а другой шар удаляется случайным образом. В 1/4 минуты до 12 вечера шарики с номерами от 21 до 30 помещаются в урну, а другой шар удаляется случайным образом ... и так далее. Интересный вопрос: сколько шариков в урне в 12 часов?

Этот вопрос, как он задан, заставляет всех в основном ошибаться - обычно интуиция говорит, что в 12 часов будет бесконечно много шаров. Однако ответ, предоставленный Россом, состоит в том, что с вероятностью один урна будет пустой. в 12 часов

При обучении теории вероятностей эта проблема является одной из тех, для которой очень сложно дать хорошее интуитивное объяснение.

С одной стороны, вы можете попытаться объяснить это следующим образом: «Подумайте о вероятности того, что какой-либо шар окажется на урне в 12 часов вечера. Во время бесконечных случайных розыгрышей он в конечном итоге будет удален. из них может быть там в конце ".

Тем не менее, студенты будут правильно спорить с вами: «но я ставлю 10 шаров и удаляю по 1 шару каждый раз. Невозможно, чтобы в конце было ноль шаров».

Какое лучшее объяснение мы можем им дать, чтобы решить эти противоречивые интуиции?

Я также открыт для аргумента, что вопрос некорректен и что если мы сформулируем его лучше, «парадокс» исчезнет, ​​или для аргумента, что парадокс «чисто математический» (но, пожалуйста, постарайтесь быть точным в этом).

Росс описывает три версии этого «парадокса» в Примере 6а в своем учебнике . В каждой версии 10 шаров добавляются в урну, и 1 шар удаляется на каждом этапе процедуры.

1. В первом варианте, -й шар удаляется на шаге -м. После полуночи осталось бесконечно много шаров, потому что все шары с номерами, не заканчивающимися на ноль, все еще там.$10n$$n$

2. Во втором варианте шар удаляется на шаге. После полуночи осталось ноль шаров, потому что каждый шарик в конечном итоге будет удален на соответствующем шаге.$n$$n$

3. В третьем варианте шары удаляются равномерно наугад. Росс вычисляет вероятность того, что каждый шарик будет удален на шаге и обнаружит, что он сходится к при (обратите внимание, что это не очевидно! Фактически нужно выполнить вычисление). По неравенству Буле это означает, что вероятность того, что в конце концов будет ноль шаров, также равна .1 n → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

Вы говорите, что этот последний вывод не интуитивен и его трудно объяснить; это чудесно подтверждается многими запутанными ответами и комментариями в этой самой ветке. Тем не менее, вывод второй версии точно так же не интуитивно понятен! И это не имеет абсолютно никакого отношения к вероятности или статистике. Я думаю, что после принятия второй версии, нет ничего особенно удивительного в третьей версии.

Таким образом, в то время как «вероятностная» дискуссия должна быть о третьей версии [см. Очень проницательные ответы @ paw88789, @Paul и @ekvall], «философская» дискуссия должна скорее сосредоточиться на второй версии, которая намного проще и похожа в дух в отель Гильберта .

---

Вторая версия известна как парадокс Росса-Литтлвуда . Я ссылаюсь на страницу Википедии, но обсуждение там ужасно сбивает с толку, и я не рекомендую читать это вообще. Вместо этого взгляните на эту ветку MathOverflow много лет назад . Это закрыто к настоящему времени, но содержит несколько очень проницательных ответов. Краткое резюме ответов, которые я считаю наиболее важными, заключается в следующем.

Мы можем определить набор шаров, присутствующих в урне после шага . Мы имеем, что , и т. Д. Существует математически определенное понятие предела последовательности множеств, и можно строго доказать что предел этой последовательности существует и является пустым множеством . Действительно, какие шары могут быть в предельном наборе? Только те, которые никогда не удаляются. Но каждый мяч в конечном итоге удаляется. Таким образом, предел пуст. Мы можем написать . n S 1 = { 2 , … 10 } S 2 = { 3 , … 20 } ∅ S n → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

В то же время числоиз шаров в множестве , также известном как мощность этого множества, равно . Последовательность , очевидно, расходится, а это означает, что мощность сходится к количеству , также известному как aleph-zero . Таким образом, мы можем написать, что .S n 10 n - n = 9 n 9 n N ℵ 0 | S n | → ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

Теперь «парадокс» заключается в том, что эти два утверждения, кажется, противоречат друг другу:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

Но, конечно, здесь нет настоящего парадокса и противоречий. Никто не говорил, что получение мощности является «непрерывной» операцией на множествах, поэтому мы не можем заменить ее пределом:Другими словами, из того факта, что для всех целых чисел нельзя сделать вывод, что(значение в первом порядковом номере ) равно . Вместо этогодолжен быть вычислен напрямую и оказывается равным нулю.| S n | = 9 n n ∈ N | S ω | ∞ | S ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

Таким образом, я думаю, что из этого мы действительно получаем вывод о том, что получение мощности - это прерывистая операция ... [@HarryAltman]

Поэтому я думаю, что этот парадокс - просто человеческая склонность считать, что «простые» операции являются непрерывными. [@NateEldredge]

---

Это легче понять с помощью функций вместо наборов. Рассмотрим характеристическую (иначе называемую индикаторную) функцию множества которая определена равной единице в интервале и нулю в других местах. Первые десять функций выглядят следующим образом (сравните искусство ASCII из ответа @ Hurkyl):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

Все согласятся , что для каждой точки , мы имеем . Это по определению означает, что функции сходятся к функции . Опять же, все с этим согласятся. Однако обратите внимание, что интегралы этих функций становятся все больше и больше, а последовательность интегралов расходится. Другими словами, Пт е н ( ) = 0 е п ( х ) г ( х ) = 0 ∫ ∞ 0 F ( х ) д х = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

Это совершенно стандартный и знакомый результат анализа. Но это точная переформулировка нашего парадокса!

Хороший способ формализовать проблему состоит в том, чтобы описать состояние кувшина не в виде набора (подмножество ), потому что его трудно принять за пределы, а в качестве его характерной функции. Первый «парадокс» заключается в том, что точечные пределы не совпадают с единообразными. [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

Важным моментом является то, что «в полночь » вся бесконечная последовательность уже пройдена , то есть мы совершили «прыжок в длину» и достигли трансфинитного состояния . Значение интеграла "в полночь " должно быть значением интеграла , а не наоборот.lim f $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

Обратите внимание, что некоторые ответы в этой теме вводят в заблуждение, несмотря на то, что за них проголосовали.

В частности, @cmaster вычисляет который действительно бесконечен, но это не то, о чем спрашивает парадокс. Парадокс спрашивает о том, что происходит после всей бесконечной последовательности шагов; это трансфинитная конструкция, поэтому нам нужно вычислять равное нулю, как описано выше.ballCount ( S ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Хюркил (в ответе) и Дилип Сарват (в комментарии) приводят два общих детерминированных варианта этой головоломки. В обоих вариантах на этапе в стопку добавляются шарики с по ( ). 10 K - 9 10 K K = 1 , 2 , . , $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

В варианте Хюркила шар удален. В этом варианте, в может быть окончательно утверждать , что нет никаких шаров не осталось , потому что мяч удаляется на этапе .н $k$$n$$n$

В варианте Дилипа Сарвейта шарик удаляется на шаге , и поэтому в этом варианте остаются все шарики, не кратные . В этом варианте в конце урны бесконечно много шаров.к $10k$$k$$10$

С этими двумя вариантами в качестве крайних случаев, мы видим, что при выполнении этого процесса может произойти много разных вещей. Например, вы можете сделать так, чтобы в конце оставался любой конечный набор шаров, выполняя процесс Хюркила, но пропуская удаление некоторых шаров. Фактически, для любого множества со счетно бесконечным дополнением (в (положительных) натуральных числах) этот набор шаров может остаться в конце процесса.$B$

Мы можем рассматривать случайную вариацию задачи (приведенную в исходном посте) как выбор функции с условиями, в которых (i) является взаимно-однозначным и (ii) для всех . f f ( k ) ≤ 10 k k ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

Аргумент, приведенный в книге Шелдона Росса (на которую есть ссылка в посте), показывает, что почти все (в вероятностном смысле) такие функции фактически являются функциями (сюрпризами).

Я вижу, что это несколько похоже на ситуацию выбора числа из равномерного распределения на и вопроса о том, какова вероятность того, что число входит в набор Кантора (я использую набор Кантора, а не говорю рациональные числа, потому что множество Кантора неисчислимо). Вероятность равна даже если в наборе Кантора есть много (неисчислимо много) чисел, которые можно было бы выбрать. В задаче удаления шариков набор последовательностей, в которых остаются оставшиеся шарики, играет роль множества Кантора.[ 0 , 1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

Изменить: БенМиллвуд правильно указывает, что есть некоторые конечные наборы шаров, которые не могут быть оставшимся набором. Например, не может быть оставшимся набором. Вы можете иметь не более из первых шаров , оставшихся для .90 % 10 п п = 1 , 2 , 3 , . , $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Ответ Enumaris совершенно прав на проблему расходящихся границ. Тем не менее, на этот вопрос можно ответить однозначно. Итак, мой ответ покажет вам, где именно решение с нулевыми шарами идет не так, и почему интуитивное решение является правильным.

---

Верно, что для любого шара вероятность его нахождения в урне в конце равна нулю. Чтобы быть точным, это только предел, который равен нулю: .P ( n ) P ( n ) = lim N → ∞ P ( n , N ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

Теперь вы пытаетесь вычислить сумму Прерванный расчет переходит прямо к этой части , говоря, что в пределе ноль, поэтому сумма содержит только нулевые члены, поэтому сама сумма равна нулю: P(n,N) lim N → ∞ ballCount ( N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

Однако это незаконно разделяет на две независимые части. Вы не можете просто переместить в сумму, если границы суммы зависят от параметра . Вы должны решить в целом.Лим Лим$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

Таким образом, единственный действительный способ решить эту , чтобы решить сумму первых, используя тот факт , что для любого конечного . ∑ n ≤ 10 N n = 1 P ( n , N ) = 9 N N lim N → ∞ ballCount ( N $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

Интуитивное решение сделало именно это, это «умное» решение, которое в корне сломано.

Этот аргумент сфокусирован на тенденции к бесконечным множествам и последовательностям вести себя единообразно. Это не более удивительно, чем отель Hilbert . В таком случае вы действительно вынули бы бесконечное количество шаров, но вы добавили бы бесконечное число. Рассмотрим отель Гильберта в обратном порядке. Вы можете удалить бесконечное количество гостей из отеля, и у вас останется бесконечное количество гостей.

Является ли это физически осуществимым - это совсем другой вопрос.

Как таковой, я бы посчитал, что это не обязательно плохо сформировано, а скорее не в той книге Этот вопрос подсчета относится к курсу теории множеств, а не к вероятности.

Я думаю, что это помогает убрать лишнюю временную составляющую проблемы.

Более простой вариант этого парадокса состоит в том, чтобы всегда удалять шар с наименьшим номером. Для удобства рисования я также добавлю только два шарика на каждом шаге.

Процедура описывает, как заполнить бесконечную двумерную сетку:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

где каждая строка формируется из предыдущей, добавляя две звездочки справа, затем удаляя крайнюю левую.

Затем задаются следующие вопросы:

Сколько столбцов заканчивается повторными звездочками, а не повторяющимися точками?

На мой взгляд, идея ошибочно приравнять этот результат к «пределу количества звездочек в каждом ряду» гораздо менее убедительна.

Этот ответ имеет целью сделать четыре вещи:

1. Просмотрите математическую формулировку проблемы Росса, показав, как она прямо и недвусмысленно следует из описания проблемы.

2. Защитите позицию, согласно которой парадоксальное решение Росса является математически обоснованным и имеет отношение к нашему пониманию физического мира, независимо от того, является ли оно физически осуществимым на 100%.

3. Обсудите некоторые ошибочные аргументы, основанные на физической интуиции, и покажите, что часто заявляемое «физическое» решение бесконечных шаров в полдень противоречит не только математике, но и физике.

4. Опишите физическую реализацию проблемы, которая может сделать решение Росса более интуитивным. Начните здесь с ответа на оригинальный вопрос Карлоса.

1. Как описать проблему математически

Мы распакуем начальный этап «моделирования бесконечного процесса» аргумента Росса (стр. 46) . Вот утверждение, которое мы сосредоточимся на обосновании:

Определите как событие, когда шар номер 1 все еще находится в урне после того, как были сделаны первые n ... Событие, когда шар номер 1 находится в урне в 12 часов вечера, является просто событием .⋂ ∞ n = 1 E $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

Прежде чем распаковать заявление Росса, давайте рассмотрим, как можно понять содержание урны в полдень после бесконечной последовательности операций. Как мы могли узнать, что находится в урне? Хорошо, давайте подумаем о конкретном шаре ; Вы можете представить себе или или что угодно. Если мяч был удален на какой-то стадии процесса до полудня, то, конечно, его не будет в урне в полдень. И наоборот, если данный шарик находился в урне на каждом этапе процесса вплоть до полудня (после его добавления), то он находился в урне в полдень. Давайте выпишем эти утверждения формально:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

Мяч находится в урне в полдень тогда и только тогда, когда он был в урне на каждом этапе до полудня, где - этап мяч был добавлен в урну.п ∈ { п Ь , п Ь + 1 , п Ь + 2 , . , , } n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

Теперь давайте утверждение Росса - что означает на простом английском языке? Давайте возьмем одну реализацию процесса urn и обсудим это:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ означает, что шар 1 находится в урне после этапа 1 процесса.
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ означает, что шар 1 находится в урне после этапов 1 и 2 процесса.
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ означает, что шар 1 находится в урне после этапов 1, 2 и 3 процесса.
• Для любого , означает, что мяч находится в урне после этапов с по .x ∈ ⋂ n k = 1 E k 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

Очевидно, что означает, что при реализации этого процесса урны шар 1 находится в урне после этапов 1, 2, 3 и так далее : все конечные этапы до полудня. Бесконечное пересечение - это просто еще один способ записать это, поэтому точно содержит реализации процесса, в котором шар 1 вообще находился в урне. этапы до полудня. Событие - это просто определенный набор реализаций процесса, поэтому последнее предложение точно эквивалентно тому, что - это событие, когда шар 1 находился в урне на всех этапах до полудня, для этого случайного процесса. x k ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E n ⋂ ∞ n = 1 E $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

Теперь, изюминка: согласно нашему утверждению «если и только если» выше, это в точности то же самое, что сказать, что мяч 1 был в урне в полдень! Таким образом, - это событие, когда шар 1 находится в урне в полдень, как и было первоначально заявлено Россом. QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

В приведенном выше выводе все сказанное нами одинаково справедливо как для детерминистской, так и для вероятностной версий, поскольку детерминированное моделирование является частным случаем вероятностного моделирования, в котором пространство выборки имеет один элемент. Никакие теоретические или вероятностные понятия меры даже не использовались, кроме слов «событие» и «реализация» (которые являются просто жаргоном для «множества» и «элемента»).

2. Парадоксальное решение математически обосновано и имеет отношение к физике

После этой точки настройки детерминистический и вероятностный варианты расходятся. В детерминированном варианте (версия 2 из поста Амебы) мы знаем, что мяч 1 вынимается на первом шаге, поэтому и бесконечное пересечение, конечно, также пусто. Точно так же любой другой шар вынимается на стадии и отсутствует в полдень. Таким образом, урна не может содержать пронумерованный шарик в полдень и поэтому должна быть пустой.b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

В вероятностном варианте то же самое явление происходит, только в более мягком смысле «ожидание». Вероятность присутствия любого данного шара уменьшается до нуля по мере приближения к полудню, и в предельное время полудня мяч почти наверняка не присутствует. Поскольку каждый шар присутствует с вероятностью ноль, а сумма бесконечно многих нулей по-прежнему равна нулю, почти наверняка в полдень в урне нет шаров. Все это совершенно точно показано Россом; детали могут быть заполнены знанием теории меры на уровне выпускника, как показывает ответ @ ekvall.

Если вы принимаете стандартные аргументы о математических объектах, выраженные в виде бесконечных последовательностей, например , аргумент здесь должен быть таким же приемлемым, поскольку он опирается на точно такие же принципы. Остается только один вопрос: применимо ли математическое решение к реальному миру или просто к платоническому миру математики? Этот вопрос сложный и обсуждается далее в разделе 4.$0.999... = 1$

Тем не менее, нет никаких оснований предполагать, что проблема бесконечной урны нефизична, или отвергать ее как неактуальную, даже если она нефизична. Многие физические идеи были получены при изучении бесконечных структур и процессов, например, бесконечные проволоки и перколяционные решетки . Не все эти системы обязательно реализуемы физически, но их теория формирует остальную часть физики. Само исчисление в некотором смысле «нефизично», потому что мы не знаем, возможно ли физически реализовать сколь угодно малые расстояния и времена, которые часто являются его предметом изучения. Это не мешает нам использовать исчисление невероятно хорошо в теоретических и прикладных науках.

3. Нефизичность решений на основе «физической интуиции»

Для тех, кто все еще верит, что математика Росса неверна или физически неточна в детерминистском варианте, и истинное физическое решение - бесконечно много шаров: независимо от того, что вы думаете, происходит в полдень, невозможно отрицать ситуацию до полудня: каждый пронумерованный шар добавленный в урну в конечном итоге удаляется. Поэтому, если вы считаете, что в полдень в урне все еще бесконечно много шариков, вы должны признать, что ни один из этих шариков не может быть добавлен до полудня. Таким образом, эти шары, должно быть, пришли откуда-то еще: вы утверждаете, что бесконечно много шаров, не связанных с исходным проблемным процессом, внезапно появляются в ровно в полдень, чтобы спасти непрерывность мощности от нарушения.Каким бы нефизичным ни казалось решение «пустого множества» интуитивно, эта альтернатива объективно и явно нефизична. Бесконечные наборы объектов не возникают в одно мгновение только для того, чтобы удовлетворить плохую человеческую интуицию о бесконечности.

Общая ошибка здесь заключается в том, что мы можем просто посмотреть на количество шаров по мере приближения времени к полудню и предположить, что расходящийся тренд дает бесконечное количество шаров в полдень, независимо от того, какие именно шары принимаются и выводятся. Была даже попытка обосновать это «принципом безразличия», в котором говорится, что ответ не должен зависеть от того, помечены шарики или нет.

Действительно, ответ не зависит от того, помечены ли шары или нет, но это аргумент в пользу решения Росса, а не против него. С точки зрения классической физики, шары эффективно помечены независимо от того, думаете ли вы о них как о помеченных или нет. Они имеют четкие, постоянные идентичности, которые эквивалентны меткам, и истинный физический анализ должен учитывать это, независимо от того, написаны ли цифры буквально на шариках. Сами ярлыки напрямую не влияют на то, как выходит решение, но они необходимы для точного описания того, как шарики перемещаются. Некоторые процедуры оставляют шарики в урне навсегда, другие доказуемо удаляют каждый добавленный шарик, и необходимы ярлыки, чтобы даже описать разницу между этими процедурами.Попытка игнорировать метки не является «физической», она просто пренебрегает пониманием физической проблемы достаточно точно, чтобы решить ее. (То же самое касается сложных вариантов, которые переставляют метки на каждой стадии. Важно то, какие шары находятся в урне, а не метки, которые кто-то поместил или заменил на них. Это можно определить, полностью игнорируя сложную схему перемаркировки и просто используя единственная неизменная схема маркировки, одна из оригинальных проблем Росса.)

Единственный способ различения не может быть правдой, если бы «шарики» были квантово-механическими частицами. В этом случае принцип безразличия проваливается эффектно. Квантовая физика говорит нам, что неразличимые частицы ведут себя совершенно иначе, чем различимые. Это имеет невероятно фундаментальные последствия для структуры нашей вселенной, такие как принцип исключения Паули, который, возможно, является самым важным принципом химии. Никто еще не пытался проанализировать квантовую версию этого парадокса.

4. Описание решения физически

Мы видели, как смутные «физические» интуиции могут ввести нас в заблуждение по этой проблеме. И наоборот, оказывается, что более физически точное описание проблемы помогает нам понять, почему математическое решение на самом деле является наиболее физическим.

Рассмотрим бесконечную ньютоновскую вселенную, управляемую законами классической механики. Эта Вселенная содержит два объекта: бесконечный Полк и бесконечную Урну, которые начинаются в Источнике Вселенной и идут рядом друг с другом, на расстоянии одного фута, навсегда и навсегда. Полка лежит на линии футов, а Урна лежит на линии футов. Вдоль полки лежат бесконечно много одинаковых шаров, равномерно расположенных на расстоянии одного фута друг от друга, первый из которых находится на расстоянии одного фута от начала координат (поэтому шар находится на линии футов). Урна - которая на самом деле похожа на Полку, но немного более изящна, закрыта и, как правило, на Урниш - пуста.y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

Проход соединяет Полку и Урну внизу, а сверху Прохода, в Происхождении, сидит робот Индевор с бесконечным источником питания. Начиная с 11 часов утра, Endeavour активирует и начинает увеличивать и перемещать изображение в проходе, перемещая шары между Урной и Полкой в ​​соответствии с запрограммированными инструкциями Росса-Литтлвуда:

• Когда программа команд шара для вставки в Чашу, шар футов от происхождения передаются от шельфа к Чаше.$n$$n$
• Когда программа дает команду удалить шарик из Урны, шарик футов от Источника переносится из Урны на Полку.$n$$n$

В любом случае, передача осуществляется прямо через, так что мяч остается ноги от происхождения. Процесс разворачивается, как указано в задаче Росса-Литтлвуда:$n$

• В 11:00 утра Индевор переносит шары 1-10 из Полки в Урну, затем перемещает один из шаров Урны обратно в Полку.
• В 11:30 утра Индевор переносит шары 11-20 с полки на урну, затем перемещает один из шаров урны обратно на полку.
• В 11:45 утра Индевор переносит шары 21-30 с полки на урну, затем перемещает один из шаров урны обратно на полку.
• и так далее ...

Поскольку процесс продолжается, каждый новый шаг требует более длительных поездок вверх и вниз по проходу и только половину времени для выполнения поездок. Таким образом, Endeavour должен двигаться вверх и вниз по проходу экспоненциально быстрее, когда приближается полдень. Но он всегда идет в ногу с программой, потому что у него бесконечный источник питания и он может двигаться так быстро, как это необходимо. В конце концов, наступает полдень.

Что происходит в этой более наглядной версии парадокса? Под наблюдением сверху подход к полудню действительно впечатляющий. Внутри Урны Волна шаров, кажется, распространяется наружу от Источника. Размер и скорость Волны растут без ограничений с приближением полудня. Если бы мы делали снимки сразу после каждого шага, как бы выглядела схема расположения шариков? В детерминированном случае они будут выглядеть точно так же, как и пошаговые функции в ответе амебы. Положения шара будут точно соответствовать кривым, которые он нанес. $(x, y)$В вероятностном случае это выглядело бы примерно одинаково, но с большим разбросом возле Источника.

Когда наступает полдень, мы подводим итоги того, что произошло. В детерминированной версии каждый шар был перенесен с полки на урну ровно один раз, а затем возвращен на более позднем этапе, причем обе передачи произошли до полудня. В полдень Вселенная должна вернуться в исходное состояние 11 часов утра. Волны больше нет. Каждый мяч вернулся именно там, где и начался. Ничего не изменилось. Урна пуста. В вероятностной версии происходит то же самое, за исключением того, что теперь результат только почти уверен, а не уверен.

В любом случае, «физические возражения» и жалобы на бесконечность, кажется, исчезают в воздухе. Конечно, урна пуста в полдень. Как мы могли вообразить иначе?

Единственная оставшаяся загадка - судьба Endeavour. Его смещение от Источника и его скорость стали произвольно большими с приближением полудня, поэтому в полдень в нашей бесконечной ньютоновской вселенной нигде не может быть найдено. Потеря Endeavour - единственное нарушение физики, которое произошло во время процесса.

В этот момент можно возразить, что Endeavour физически невозможен, так как его скорость растет без ограничений и в конечном итоге нарушит релятивистский предел, скорость света. Однако мы можем немного изменить сценарий, чтобы решить эту проблему. Вместо одного робота у нас может быть бесконечно много роботов, каждый из которых отвечает за один мяч. Мы могли бы запрограммировать их заранее, чтобы обеспечить идеальную координацию и время в соответствии с инструкциями Росса.

Это изменение на 100% физическое? Вероятно, нет, потому что роботы должны были бы работать с произвольно точным временем. По мере приближения к полудню требуемая точность в конечном итоге упадет ниже времени Планка и создаст проблемы квантовой механики. Но в конечном итоге бесконечная проволока и бесконечная перколяционная решетка могут быть не такими уж физическими. Это не мешает нам изучать бесконечные системы и процессы и определять, что произойдет, если препятствующие физические ограничения будут приостановлены.

4а. Почему граф монотонности нарушается

Ряд скептиков Росса подвергли сомнению, как возможно, что количество шаров в урне увеличивается без границ по мере приближения к полудню, а затем становится равным нулю в полдень. В конечном счете, мы должны верить в тщательный анализ нашей собственной интуиции, который часто ошибочен, но есть парадокс, который помогает пролить свет на эту тайну.

Предположим, что вместо бесконечного количества шаров у нас есть шаров с метками 1, 2, 3, вплоть до , и мы выпустим следующее дополнение к правилам для движителя шаров:10 $10N$$10N$

• Если в инструкциях вас просят переместить несуществующий шар, игнорируйте эту инструкцию.

Обратите внимание, что исходная задача не изменится, если мы добавим к ней эту инструкцию, так как инструкция никогда не будет активирована с бесконечным количеством шаров. Таким образом, мы можем думать, что первоначальная проблема и это новое семейство проблем являются частью одной семьи с одинаковыми правилами. Изучение конечного семейства , особенно для очень больших , может помочь нам понять случай "N = ".N $N$$N$$\infty$

В этом варианте шарики накапливают 9 за шаг, как и раньше, но только до шага процесса. Тогда числа для добавляемых шаров больше не соответствуют реальным шарам, и мы можем выполнить только инструкцию по удалению шаров, и процесс останавливается после дополнительных шагов, всего шагов. Если очень большое, фаза «только удаление» наступает очень близко к полудню, когда задачи выполняются очень быстро, а урна опорожняется очень быстро.9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

Теперь предположим, что мы делаем эту вариацию эксперимента для каждого значения и график количества шариков во времени, , где колеблется от 0 до 1 часа после 11:00 (т.е. с 11:00 до полудня). Обычно увеличивается на некоторое время, затем возвращается к нулю в момент времени или до него . В пределе, когда приближается к бесконечности, график поднимается все выше и падение становится все более быстрым. К полудню урна всегда пуста: . На граничном графе кривая приближается к бесконечности при ноf N ( t ) t f N ( t ) t = 1 N f N ( 1 ) = 0 f ( t ) = lim N → ∞ f N ( t ) t < 1 f ( 1 ) = 0 N → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$, Это именно тот результат, который был получен в доказательстве Росса: количество шаров расходится на бесконечность до полудня, но в полдень равно нулю. Другими словами, решение Росса сохраняет непрерывность по отношению к N: поточечный предел числа шариков, поскольку соответствует количеству шариков в случае бесконечного шара.$N \rightarrow \infty$

Я не считаю это основным аргументом в пользу решения Росса, но он может быть полезен для тех, кто озадачен тем, почему количество мячей растет вечно, а не падает до нуля в полдень. Как ни странно, это ограничивающее поведение конечной версии проблемы как , и, таким образом, не является «внезапным шоком» в бесконечном случае.$N \rightarrow \infty$

Финальное отражение

Почему эта проблема оказалась такой ловушкой для многих? Мое предположение состоит в том, что наша физическая интуиция намного более неопределенна, чем мы думаем, и мы часто делаем выводы, основанные на неточных и неполных умственных представлениях. Например, если я попрошу вас подумать о квадрате, который также является кругом, вы можете представить что-то квадратное и округлое, но это не будет точно обеими этими вещами - это было бы невозможно. Человеческий разум может легко смешать смутные противоречивые понятия в единую ментальную картину. Если понятия менее знакомы, как Бесконечный, мы можем убедить себя, что эти расплывчатые умственные скрещивания на самом деле являются концепциями Реального Вещи.

Это именно то, что происходит с проблемой урны. Мы не понимаем всего этого сразу; мы думаем о кусочках, например о том, сколько шаров со временем. Мы отбрасываем предположительно не относящиеся к делу технические детали, например, что происходит с каждым небольшим маленьким шариком с течением времени или как именно «урна» может содержать бесконечно много шариков. Мы пренебрегаем точным изложением всех деталей, не осознавая, что результатом является скопление несовместимых, несовместимых ментальных моделей.

Математика призвана спасти нас от этого состояния. Это дисциплинирует и делает нас перед лицом незнакомого и экзотического. Это требует, чтобы мы дважды подумали о вещах, которые "должны" быть правдой ... верно? Это напоминает нам, что независимо от того, как странные вещи становятся, один и один все еще два, шар или в урне, или это не так, и утверждение или верно или ложно. Если мы будем упорны, эти принципы в конечном итоге внесут ясность в большинство наших проблем.

Те, кто подчиняет математический анализ «физической» или «здравой» интуиции, делают это на свой страх и риск. Размахивать руками об интуиции - это только начало физики. Исторически, все успешные отрасли физики в конечном итоге основывались на строгой математике, которая отбрасывает неправильные физические интуиции, укрепляет правильные и дает возможность тщательного изучения идеальных систем, таких как бесконечный проводник с током, которые освещают поведение более сложный, грязный реальный мир. Росс-Литтлвуд - это физическая проблема,обычно интерпретируется как классическая механика, а классическая механика имеет вполне зрелую и строгую математическую основу. Мы должны полагаться на математическое моделирование и анализ для наших представлений о мире классической физики, а не наоборот.

Некоторые постеры были обеспокоены тем, что вычисления в Россе могут быть не точными. Этот ответ обращается к этому, доказывая существование вероятностного пространства, где все наборы результатов, рассмотренные Россом, действительно измеримы, а затем повторяет важные части вычислений Росса.

Нахождение подходящего вероятностного пространства

Чтобы сделать вывод Росса о том, что в урне нет шариков в 12 часов вечера, почти наверняка, строго, нам нужно существование вероятностного пространства где в событии «нет шариков в урне в 12 часов». PM "можно построить формально и показать измеримость. Для этого мы будем использовать теорему 33 [Ионеску - Тулча] в этих заметках к лекции , слегка перефразированную, и конструкцию, предложенную @NateEldredge в комментарии к вопросу.$(\Omega, \mathcal F, P)$

Теорема. (Теорема Ионеску - продолжения Тулчи) Рассмотрим последовательность измеримых пространств . Предположим, что для каждого существует ядро ​​вероятности от до (принимая за ядро, нечувствительное к его первому аргументу, т. е. к вероятностной мере). Тогда существует последовательность случайных величин принимающая значения в соответствующем , так что для каждого совместное распределениеn κ n ( Ξ 1 , X 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , X n - 1 ) ( Ξ n , X n ) κ 1 X n , n = 1 , 2 , … Ξ n$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , … , κ $(X_1, \dots, X_n)$это то, что подразумевается ядрами .$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

Обозначим через метку шара, снятого при ом выводе. Ясно, что (бесконечный) процесс , если он существует, сообщает нам все, что нам нужно знать, чтобы подражать аргументам Росса. Например, зная для некоторого целого числа - это то же самое, что знать количество шариков в урне после вывода : это в точности добавленные шарики с метками , за вычетом удаленных шаров . В целом, событие , описание которых, и сколько шары в урне после любого данного вывода можно сформулировать в терминах процесса . n X = ( X 1 , X 2 , … ) X 1 , … , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , … , 10 m } { X 1 , … , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

Чтобы соответствовать эксперименту Росса, нам нужно, чтобы для каждого распределение равномерным на . Нам также нужно, чтобы распределение было равномерным на . Чтобы доказать, что бесконечный процесс с этими конечномерными распределениями действительно существует, мы проверим условия теоремы Ионеску-Тулчи о расширении. Для любого целого числа пусть и определение измеримых пространств , гдеX n ∣ X n - 1 , … , X 1 { 1 , 2 , … , 10 n } ∖ X 1 , … , X n - 1 X 1 { 1 , … , 10 } X = ( X 1 , X 2 , … ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ п , Х п ) = ( я 10 п , 2 я 10 п ) 2 Б Б κ 1 ( Ξ 1 , Х 1 ) 1 / 10 Ξ 1 п ≥ 2 ( х 1 , ... , x n - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ обозначает мощность установки множества . Определите меру для чтобы она была такой, чтобы поместить массу на все элементы . Для любого и определите - ядро ​​вероятности, которое помещает одинаковую массу во все точки в и нулевую массу во всех других точках, т.е. на целые числа$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ п ( х 1 , ... , х п - 1 , ⋅ ) £ , п ∖ { х 1 , ... , х п - 1 } х я ∈ £ , п , я = 1 , ... , п - 1 х ( Ω , F , P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$, По построению ядра вероятности согласуются с равномерной вероятностью удаления, указанной Россом. Таким образом, бесконечный процесс и пространство вероятностей , существование которого дается теоремой, дают нам возможность формально выполнить аргумент Росса.$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

Пусть обозначает множество результатов, таких, что шар находится в урне после снятия . В терминах нашего стохастического процесса это означает, что для всех и таких, что мы определяем , то есть шар не был удален в любом из розыгрышей до и включая - й. Для мы можем четко определить поскольку мяч еще не добавлен в ход. Для каждого и множество i n X i n i ≤ 10 n E i n = ∩ n j = 1 { ω : X j ( ω ) ≠ i } i n i > 10 n E i n = ∅ i j i { ω : X j ( ω ) ≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ измерим, поскольку является случайной величиной (измеримой). Таким образом, измеримо как конечное пересечение измеримых множеств.$X_j$$E_{in}$

Нас интересует набор результатов, чтобы в урне не было шариков в 12 часов. То есть набор результатов, в котором для каждого целого числа мяч не находится в урне в 12 часов. Для каждого , пусть будет набором результатов ( ), таких, что шарик находится в урне в 12:00. Мы можем построить формально, используя нашу следующим образом. То, что нахожусь в урне в 12 часов вечера, эквивалентно тому, что я в урне после каждого снятия, сделанного после того, как он был добавлен в урну, поэтомуi i E i ω ∈ Ω i E i E i n i E i = ∩ n : i ≤ 10 n E i n E i$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$, Множество результатов теперь измеримо как счетное пересечение измеримых множеств для каждого .$E_i$$i$

Исходы, для которых в урне есть как минимум один шар в 12 часов вечера, - это результаты, для которых происходит хотя бы один из , то есть . Множество результатов измеримо как счетное объединение измеримых множеств. Теперь, - это событие, когда в урне нет шариков в 12 часов, что действительно можно измерить как дополнение к измеримому набору. Мы заключаем, что все желаемые наборы результатов измеримы, и мы можем перейти к вычислению их вероятностей, как это делает Росс. E = ∪ ∞ i = 1 E i E Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

Вычисление вероятности$P(\Omega \setminus E)$

Прежде всего отметим, что так как семейство событий счетно, мы имеем счетную субаддитивность мер, которые$E_i, i = 1, 2, \dots$

P ( E i ) = a i i P ( E ) = 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ Для простоты обозначения обозначим действительное число для всех . Очевидно, чтобы показать , что , достаточно , чтобы показать , что для всех . Это эквивалентно тому, что для каждого , что мы и сделаем сейчас.$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

Для этого обратите внимание, что для всех таких, что шарик был добавлен в урну, то есть , . Это так, потому что если мяч находится в урне на шаге , он также находится в урне на шаге . Другими словами, множества образуют убывающую последовательность для всех таких что . Для простоты обозначения пусть . Росс доказывает, что как и заявляет, что это также может быть показано для всех остальныхi 10 n ≥ i E i n ⊇ E i ( n + 1 ) i n + 1 n E i n n 10 n ≥ i a i n = P ( E i n ) a 1 n → 0 n → ∞ i a i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, который я приму за правду. Доказательство состоит в том, чтобы показать, что и для всех , a Элементарный, но длинный расчет, я не буду повторять здесь. Вооружившись этим результатом и тем, что семейство событий , исчисляется для каждого i , непрерывность мер даетlim n → ∞ a i n = 0 i E i n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

Мы заключаем, что , и, следовательно, как утверждается. QED.P ( Ω ∖ E ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

Некоторые распространенные недоразумения:

1. Один ответ связан с тем фактом, что (в моей записи) . Это, однако, не имеет никакого отношения к действительности решения, потому что количество с правой стороны не является интересным согласно предоставленному аргументу.$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. Была некоторая обеспокоенность тем, что предел не может быть перемещен внутри суммы, или, другими словами, не может быть заменен суммой в том смысле, что это может быть случай, когда . Как и предыдущее замечание, это не имеет отношения к решению, поскольку количество справа не представляет интереса.$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

С одной стороны, вы можете попытаться объяснить это следующим образом: «Подумайте о вероятности того, что какой-либо шар окажется на урне в 12 часов вечера. Во время бесконечных случайных розыгрышей он в конечном итоге будет удален. из них может быть там в конце ".

Я не считаю этот аргумент убедительным. Если этот аргумент работает, то работает следующий аргумент: Каждый год некоторые люди рождаются (скажем, постоянная доля от общей численности населения), а некоторые умирают (предположим, постоянная доля). Тогда, поскольку в пределе любой конкретный человек почти наверняка мертв, человеческая раса должна вымереть! Теперь человеческая раса может вымереть по другим причинам, но этот аргумент является мусором.

Для этой проблемы не имеет никакого смысла иметь одно решение, когда шары пронумерованы, и иметь совершенно другой ответ, когда шары анонимны. По симметрии произвольные метки не должны влиять на решение. Джейнс назвал этот аргумент принципом безразличия , которое я принимаю.

Другими словами, если бы кто-то сказал вам, что они помещают десять урн в урну и удаляют один раз, и насколько заполнена урна в пределе, будет ли ваш ответ «Это зависит от того, пронумерованы ли шарики»? Конечно, нет. Содержимое этой урны расходится так же, как урна в этой проблеме.

Поэтому я думаю, что решение заключается в том, как мы формализуем проблему. Из обычного определения теоретико-множественного предела имеем

lim sup n → ∞ S n = ⋂ n ≥ 1 ⋃ j ≥ n S

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

Пусть предел мощности множества будет

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

и мощность границы множества be$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

Я предлагаю переопределить теоретико-множественный предел, чтобы:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

Этот специальный «анонимный набор» описывает, что происходит на бесконечности. Так же, как обозначает ограничивающее поведение чисел, обозначает ограничивающее поведение множеств. А именно, у нас есть и . Преимущество этого формализма заключается в том, что он дает нам преемственность кардинальности и согласованность с принципом безразличия . ∞ α i ∉ α k ∀ i | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

Для задачи урны - множество шаров в урне. И Таким образом, элементы не «падают со скалы» в бесконечности, что не имеет смысла больше, чем имеет смысл для человечества вымирать только потому, что ни один человек не является бессмертным.lim n → ∞ S n = α ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

Аналогично, предположим, что мы модифицируем задачу так, чтобы на каждом шаге добавлялся один шарик, а шарик с наименьшим номером удалялся. Тогда сколько шаров в урне в пределе? Анонимные наборы дают интуитивный ответ:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

Я признаю, что математики могут не согласиться с решениями этого парадокса, но для меня это наиболее интуитивное решение.

Проблема либо плохо сформирована, либо не в логике первого порядка.

Основная причина: выполнение «последнего» шага запишет на шаре бесконечное число цифр, в результате чего этот шаг займет само бесконечное время для выполнения.

Способность выполнять бесконечный процесс с бесконечным шагом подразумевает способность решать все логические задачи первого порядка ( поэтому Гедель неверен) путем выполнения следующей последовательности H (для теоремы X):

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

где бесконечный шаг откручивает вывод

Программа внутри asymptotic_coroutine - это просто исчерпывающий поиск теоремы, которая доказывает (или опровергает) X. Преобразование P в S приводит к "aa", "ab", "ac", ... "a∨", ... где каждый символ, который может появиться в теореме, генерируется. Это приводит к генерации всех теорем длины лог- _{символов} N по очереди. Поскольку N растет без ограничений во внешнем цикле, это в конечном итоге будет генерировать все теоремы.

Сторона, которая является ложной, никогда не прекратит работу, но мы не должны заботиться об этом, потому что мы можем выполнять бесконечные шаги На самом деле мы зависим от возможности сделать это, чтобы обнаружить независимость, поскольку обе стороны никогда не закончат. За исключением одного. Мы позволили выполнить бесконечное количество шагов за конечное время путем асимптотического увеличения скорости выполнения. Это удивительная часть. Функция asymptotic_coroutine, которая никогда не завершается и никогда не генерирует выходные данные, "закончилась" * после асимптотического времени и все еще никогда не создавала никаких выходных данных.

* Если бы мы поместили OUTPUT после FOR N = 1 ... ∞, он не был бы достигнут, но мы не собираемся этого делать.

Сильная форма теоремы Гёделя о неполноте может быть сформулирована так: «Для любой логической системы F первого порядка существует утверждение G _F , которое верно в F, но не может быть доказано, что оно верно в F.» Но метод доказательства H не может не доказать все утверждения, которые должны быть истинными в F (H).

Дилемма: ¬Gödel ¬ ¬ (допускаются бесконечные шаги)
Следовательно:
Дилемма: ¬Gödel 31¬ (315502 хорошо сформирована в логике первого порядка)

Пусть x будет количеством удаленных шаров, а y будет количеством оставшихся шаров. После каждого цикла у = 9х. Поскольку x> 0, y> 0. В 12:00 в урне будет бесконечно много шаров.

Причина того, что решения, основанные на вероятностях, приводят к трудностям, заключается в том, что вероятности из бесконечных рядов хитры. ET Джейнс написал о нескольких различных очевидных парадоксах вероятности, подобных этому, в своей книге « Теория вероятностей: логика науки» . У меня нет моей копии под рукой, но первая часть книги доступна онлайн от Ларри Бретторста здесь . Следующая цитата из предисловия.

Тем не менее, когда все сказано и сделано, мы обнаруживаем, к нашему собственному удивлению, что остается немного больше, чем просто философское соглашение; по многим техническим вопросам мы категорически не согласны с де Финетти. Нам кажется, что его способ лечения бесконечных множеств открыл ящик Пандоры бесполезных и ненужных парадоксов; неконгломерируемость и конечная аддитивность - примеры, обсуждаемые в главе 15.

Парадокс бесконечного множества стал болезненной инфекцией, которая сегодня распространяется таким образом, что угрожает самой жизни теории вероятностей и требует немедленного хирургического удаления. В нашей системе после этой операции таких парадоксов избегают автоматически; они не могут возникнуть в результате правильного применения наших основных правил, потому что эти правила допускают только конечные множества и бесконечные множества, которые возникают как четко определенные и хорошо ведущиеся пределы конечных множеств. Парадокс был вызван (1) прыжком прямо в бесконечное множество без указания какого-либо ограничивающего процесса для определения его свойств; а затем (2) задавать вопросы, ответы на которые зависят от того, как был достигнут предел.

Например, вопрос: «Какова вероятность того, что целое число является четным?» Может иметь любой ответ, который мы пожелаем в (0, 1), в зависимости от того, какой ограничивающий процесс является для определения «набора всех целых чисел» (просто как условно сходящиеся ряды можно сделать так, чтобы они сходились к любому желаемому числу в зависимости от порядка, в котором мы устраиваем условия).

На наш взгляд, нельзя сказать, что бесконечное множество вообще обладает каким-либо «существованием» и математическими свойствами - по крайней мере, в теории вероятностей - до тех пор, пока мы не определили процесс ограничения, который должен генерировать его из конечного множества. Другими словами, мы плывем под флагом Гаусса, Кронекера и Пуанкаре, а не Кантора, Гильберта и Бурбаки. Мы надеемся, что читатели, которые в шоке от этого, изучат обвинение Бурбакизма в математике Моррисе Клайне (1980), а затем потерпят достаточно долго, чтобы увидеть преимущества нашего подхода. Примеры появляются почти в каждой главе.

Использование пределов в ответе @enumaris (+1) позволяет обойти хитрость бесконечности в вероятности.

Какое лучшее объяснение мы можем им дать, чтобы решить эти противоречивые интуиции?

Вот лучший ответ, и он имеет очень мало общего с вероятностями. У всех шаров есть номера, назовем их номерами рождения. Числа рождения начинаются с B1, B2, B3 ... и уходят в бесконечность, потому что мы действительно никогда не останавливаемся. Мы приближаемся к 12:00 утра, но продолжаем добавлять и удалять шары, поэтому нет окончательного номера шара. Это очень важное соображение, кстати.

Мы помещаем шарики в коробку по 10 партий, например, партия № 7: B71, B72, ..., B80. Давайте на минутку забудем об этом и сосредоточимся на шариках, которые вынимаются из коробки. Они приходят в случайном порядке. Я объясню, почему случайность важна позже, но пока все, что это означает, - это то, что любой шар с точным числом от B1 до B10k, который все еще находится в коробке на этапе K, может быть вытянут. Мы собираемся проиндексировать шары, которые мы удаляем, в порядке, в котором они были удалены, давайте назовем их номерами смерти: D1, D2, D3 ... DK.

К 12:00 мы помещаем бесконечное количество шаров в коробку, и, конечно же, у нас никогда не заканчивались шары, чтобы извлечь из нее. Почему? Поскольку мы сначала положили 10 шаров, ТО ТОЛЬКО удалите один. Так что всегда есть шарик для удаления. Это означает, что мы также удалили бесконечное количество шаров к 12:00.

Это также означает, что каждый удаленный шарик был проиндексирован от 1 до бесконечности, то есть мы можем связать каждый удаленный шарик с шариком, который был помещен в коробку: от B1 до D1, от B2 до D2 и т. Д. Это означает, что мы удалили столько шаров, сколько мы вставили, потому что каждое число рождения было связано с каждым числом смерти.

Теперь это было решение. Почему это побеждает нашу интуицию? Это элементарно, доктор Ватсон. Причина в том, что мы точно знаем, что для всех K это справедливо: . Поэтому после K шагов мы не сможем удалить все шары из коробки, потому что мы положили 10K шариков и удалили только K из них. Правильно?

$$K<10K$$

Есть небольшая проблема. Дело в том, что когда , это уже не так: Вот почему интуиция .$K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

Теперь, если шары не были удалены наугад. Как и в каноническом ответе @ amoeba, может произойти две вещи. Сначала допустим, что мы поставили 10 шаров, а затем сразу удалили последний. Это как если бы мы помещали только девять шаров. Это будет соответствовать нашей интуиции, и в 12:00 будет бесконечное количество шаров. Как придешь? Поскольку мы не удаляли шары случайно, мы следовали алгоритму, в котором числа рождений были числами смерти, так как во время удаления . Итак, мы соединили каждый удаленный шарик с одним из вставленных шариков: , это означает, что тонна шариков никогда не была в паре B1, B2 ,. .., B9, B11, ... и т. Д.B 10 → D 1 , B 20 → D 2 , B 30 → D 3 , $B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

Вторая вещь, которая может случиться с неслучайным удалением шара, также связана с сопряжением при удалении: мы коррелируем BK = DK. Мы можем сделать это, удаляя шарик с BK на каждом шаге K, что обеспечивает сопряжение BK с DK. Таким образом, каждый удаленный шарик соединяется с каждым вставленным нами шариком, то есть тот же конечный результат, что и при случайной ничьей удаленных шариков. Очевидно, это означает, что после 12:00 утра в коробке не осталось шаров.

Я только что показал, что проблема имеет очень мало общего с вероятностями как таковыми. Все это имеет отношение к степеням бесконечных счетных (?) Множеств. Единственная реальная проблема, которую я избегал обсуждать, состоит в том, действительно ли множества счетны. Видите ли, когда вы приближаетесь к 12:00, ваша скорость вставки мяча увеличивается, мягко говоря, довольно быстро. Таким образом, не так просто придумать, действительно ли количество шаров, которые мы положили в коробку, действительно исчисляемо.

Разоблачение

Теперь я собираюсь разгадать это каноническое решение парадокса и вернусь к нашей интуиции.

Как это возможно, что мы вставили 10 шаров, удалили один и все еще исчерпали все шары в 12 часов? Вот что на самом деле происходит. 12 часов недоступно .

Давай как переформулируй проблему. Мы больше не сокращаем временные интервалы. Мы ставим и удаляем шарики каждую минуту. Разве это не так же, как в оригинальной задаче? И да и нет.

Да, потому что нигде в моем изложении выше я не ссылался на время, но в самом конце. Я считал шаги к. Таким образом, мы можем продолжать считать шаги и мертвые шары по k.

Нет, потому что теперь мы никогда не остановимся . Мы будем продолжать добавлять и удалять шары до конца времени, которое никогда не наступит. В то время как в исходной задаче конец в 12 часов.

Это объясняет, как наша интуиция терпит неудачу. Несмотря на то, что мы ставим шарики с 9-кратной скоростью удаления, поскольку время никогда не заканчивается, каждый шарик, который мы вставим, будет в конечном итоге удален! Это может занять бесконечное количество минут, но это нормально, потому что у нас осталось бесконечное количество минут. Это истинное решение проблемы.

В этой формулировке вы бы спросили: «Сколько шариков в коробке после окончания бесконечности?» Нет! Потому что это бессмысленный вопрос. Вот почему оригинальный вопрос тоже бессмысленный. Или вы могли бы назвать это некорректным.

Теперь, если вы вернетесь к исходной проблеме, тогда, очевидно, наступит конец времени. Это в 12. Тот факт, что мы перестали класть шары, означает, что время только что закончилось, и мы достигли его конца. Таким образом, истинный ответ на этот вопрос заключается в том, что 12 часов никогда не должно происходить. Это недоступно.

Стоит прочитать ответ амебы, который просто превосходен и очень проясняет проблему. Я не совсем не согласен с его ответом, но хочу отметить, что решение проблемы основано на определенном соглашении. Интересно то, что проблема такого рода показывает, что это соглашение, хотя и часто используется, сомнительно.

Точно так же, как он говорит, что есть технический пункт, подтверждающий, что для каждого шара вероятность остаться в урне навсегда равна 0. Помимо этого, проблема не в вероятностях. Детерминистский эквивалент может быть дан. Это намного легче понять. Основная идея такова: поскольку в определенный момент времени каждый шарик отсутствует в урне, урна в конце пуста. Если вы представляете присутствие в урне каждого шара последовательностью нулей и единиц, каждая последовательность равна 0 из определенного диапазона, таким образом, ее предел равен 0.

Теперь проблема может быть упрощена еще больше. Я называю моменты 1, 2, 3 .... для простоты:

• момент 1: положить мяч 1 в урну
• момент 2: убери это
• момент 3: положить мяч 2 в урну
• момент 4: убери это
• момент 5: положить мяч 3 в урну
• ...

Какие шары в конце (полдень)? С той же идеей, тем же ответом: нет.

Но принципиально, нет способа узнать, потому что проблема не говорит о том, что происходит в полдень. На самом деле, вполне возможно, что в конце времен Пикачу внезапно приходит в урну. Или, может быть, все шары внезапно разрушаются и сливаются в один большой шар. Не значит, что это должно быть реалистично, просто не указано.

На проблему можно ответить, только если определенное соглашение говорит нам, как достичь предела: допущение непрерывности. Состояние урны в полдень является пределом ее состояний раньше. Где нам искать допущение преемственности, которое поможет нам ответить на вопрос?

По физическим законам? Физические законы обеспечивают определенную преемственность. Я думаю об упрощенной классической модели, не обращаясь к реальной современной физике. Но, по сути, физические законы ставят те же вопросы, что и математические: способ, которым мы выбираем описание непрерывности физических законов, основан на математическом задании вопроса: что такое непрерывность, как?

Мы должны искать допущение преемственности более абстрактным образом. Обычная идея - определить состояние урны как функции из множества шаров в . 0 означает отсутствие, 1 означает наличие. И чтобы определить непрерывность, мы используем топологию продукта, точечную сходимость. Мы говорим, что состояние в полдень является пределом состояний до полудня согласно этой топологии. С этой топологией есть предел, и он равен 0: пустая урна.$\{0;1\}$

Но теперь мы немного изменим проблему, чтобы бросить вызов этой топологии:

• момент 1: положить мяч 1 в урну
• момент 2: убери это
• момент 3: положить мяч 1 в урну
• момент 4: убери это
• момент 5: положить мяч 1 в урну
• ...

Для той же топологии последовательность состояний не имеет ограничений. Вот где я начинаю видеть парадокс как настоящий парадокс. Для меня эта модифицированная проблема по сути та же самая. Представь, что ты урна. Вы видите, как шары приходят и уходят. Если вы не можете прочитать число на нем, будь то тот же шар или другой, это не изменит того, что с вами происходит. Вместо того, чтобы видеть шары как отдельные отдельные элементы, вы видите их как количество материи, входящей и выходящей. Непрерывность может быть естественно определена, если посмотреть на изменения количества вещества. И действительно, нет предела. В некотором смысле эта проблема такая же, как и в оригинальной задаче, когда вы решаете игнорировать идентичность шара, что приводит к другой метрике и другому понятию сходимости. И даже если бы вы могли видеть число на шарах,

В одном случае предел последовательности ваших состояний «пуст», в другом случае предел не определен.

Формализация проблемы с топологией продукта в основном опирается на разделение того, что происходит с каждым отдельным шаром, и, таким образом, на создание метрики, отражающей «различия». Только из-за этого разделения, предел может быть определен. Тот факт, что это разделение является настолько фундаментальным для ответа, но не фундаментальным для описания «того, что происходит» в урне (точка, которая бесконечно спорна), заставляет меня думать, что решение является следствием соглашения, а не фундаментальной правды.

Для меня проблема, когда она рассматривается как чисто абстрактная, имеет решение до тех пор, пока предоставляется недостающая информация: то, что состояние в полдень является пределом предыдущих состояний и предел в каком смысле. Однако, думая об этой проблеме интуитивно, предел последовательности состояний - это не то, что вы можете мыслить одним способом. В принципе, я думаю, что нет никакого способа ответить.

Я хочу сделать переформулировку, которая будет настолько проста, насколько это возможно, чтобы сделать ответ 0 более интуитивным, начиная с упрощенного примера, что шары не удаляются случайным образом, а шар удаляется на шаге.$n$$n$

Учтите это: я положил все шары в урну в начале. На шаге 1 я вынимаю мяч 1. На шаге 2 я вынимаю мяч 2 и так далее. Есть сомнения, что урна будет пустой после бесконечных шагов?

Хорошо. Но если я сначала не положу в урну все шары, а только несколько, как урна может быть полнее в конце?

Цель этого поста - отстаивать последний вариант ФП, что нам нужна лучшая формулировка. Или, по крайней мере, доказательство Росса не так ясно, как может показаться на первый взгляд, и, конечно же, доказательство не настолько интуитивно, как в хорошем состоянии, чтобы быть на начальном курсе теории вероятностей. Это требует большого объяснения как в понимании парадоксальных аспектов, так и после того, как это было очищено объяснение в точках, где доказательство Росса проходит очень быстро, что затрудняет понимание того, от каких аксиом, теорем и неявных интерпретаций зависит доказательство.

В связи с этим аспектом очень забавно читать последние слова Теун Коецье в «Дидактик встретил одного человека из пингпонгбаллена?»

Кроме того, мы не согласны с «парадоксами - окном в заблуждение».

В переводе «Если мы не будем осторожны, то это становится« Парадоксом окно для путаницы »»

Ниже приведено описание «обычных» аргументов, которые могут проходить в дискуссиях о сверхзадачах, и, в частности, детерминированный парадокс Росса-Литтлвуда. После этого, когда мы отложим всю эту дискуссию в сторону, будет дан взгляд на особый случай вероятностного парадокса Росса-Литтлвуда как предоставления дополнительных элементов, которые, однако, теряются и путаются в более широких условиях с суперзадачами.

Три детерминированных случая и обсуждение суперзадач

Парадокс Росса-Литтлвуда знает много разных результатов в зависимости от того, как шары смещены из урны. Чтобы исследовать их, давайте начнем с использования точного описания проблемы, которое Литлвуд описывает как пятую проблему в своей рукописи 1953 года.

Версия 1 Набор шаров, оставшихся в урне, пуст

Парадокс Росса-Литтлвуда, или парадокс Литтлвуда-Росса, впервые появился как 5-я проблема в рукописи Литтлвуда 1953 года "Собрание математика"

Парадокс бесконечности. Шарики с номерами 1, 2, ... (или для математика сами цифры) помещаются в коробку следующим образом. С 1 минуты до полудня вводятся цифры от 1 до 10, а номер 1 вынимается. С 1/2 минуты до полудня вводятся числа от 11 до 20, извлекается число 2 и так далее. Сколько в коробке в полдень?

Литтлвуд кратко об этой проблеме, но дает хорошее представление в виде набора точек:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

для которого легко заметить, что это «ноль».

Версия 2 Набор шаров, оставшихся в урне, имеет бесконечный размер

Росс (1976) добавляет еще две версии к этому парадоксу. Сначала мы посмотрим на первое дополнение:

Предположим, что у нас есть бесконечно большая урна и бесконечный набор шаров, помеченных как шар номер 1, номер 2, номер 3 и так далее. Рассмотрим эксперимент, выполненный следующим образом: с 1 до 12 часов шарики с номерами от 1 до 10 помещаются в урну, а шарик № 10 извлекается. (Предположим, что снятие не занимает много времени.) В 12 минут до 12 часов, шарики с номерами с 11 по 20 помещаются в урну, и шар номер 20 извлекается. В 14 - 12 ч. 00 м. В урну помещаются шарики с номерами от 21 до 30, а шарик № 30 извлекается. В 18 минут до 12 часов и так далее. Интересный вопрос: сколько шариков в урне в 12 часов?

Очевидно, что ответом является бесконечность, так как эта процедура оставляет в шарике все шары с номерами , которых бесконечно много.$x \mod 10 \neq 0$

Прежде чем мы перейдем ко второму дополнению Росса, которое включало вероятности, мы переходим к другому случаю.

Версия 3 Набор шаров, оставшихся в урне, является конечным набором произвольного размера.

Урна может иметь любое количество шаров в 12 часов вечера в зависимости от процедуры смещения шаров. Это изменение было описано Tymoczko и Henle (1995) как проблема с теннисным мячом.

Том в большой коробке, пустой, кроме себя. Джим стоит вне коробки с бесконечным количеством теннисных мячей (пронумерованных 1, 2, 3, ....). Джим бросает шары 1 и 2 в коробку. Том берет теннисный мяч и выбрасывает его. Затем Джим бросает шары 3 и 4. Том берет мяч и выбрасывает его. Затем Джим бросает шары 5 и 6. Том берет мяч и выбрасывает его. Этот процесс продолжается бесконечное количество раз, пока Джим не бросит все шары. Еще раз, мы просим вас принять выполнение бесконечного числа задач за конечный период времени. Вот вопрос: сколько шариков в коробке с Томом, когда действие закончено?

Ответ несколько тревожит: это зависит. Недостаточно информации для ответа на вопрос. Может быть бесконечное количество оставшихся шаров или их может не быть.

В примере из учебника они приводят доводы в пользу двух случаев: либо бесконечного, либо конечного (Тимошко и Генле, оставьте промежуточный случай в качестве упражнения), однако проблема рассматривается далее в нескольких журнальных статьях, в которых проблема обобщена так, что мы можем получить любое число в зависимости от процедуры следования.

Особенно интересны статьи о комбинаторных аспектах проблемы (где, однако, основное внимание уделяется аспектам бесконечности). Например, подсчет количества возможных наборов, которые мы можем иметь в любое время. В случае добавления 2 шаров и удаления 1 каждого шага результаты просты, и число возможных наборов на n-м шаге равно n + 1-му каталонскому числу. Например, 2 варианта {1}, {2} на первом этапе, 5 возможностей {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} и {3,4} на втором этапе, 14 в третий, 42 в четвертом, и так далее (см. Merlin, Sprugnoli and Verri 2002, Проблема с теннисным мячом ). Этот результат был обобщен для различного числа добавлений и вычитаний шаров, но это слишком далеко для этого поста.

Аргументы, основанные на концепции суперзадач

Прежде чем перейти к теории вероятностей, можно привести множество аргументов против детерминированных случаев и возможности выполнения суперзадачи. Также можно задаться вопросом, является ли теоретическая обработка множества действительным представлением кинематического представления сверхзадачи. Я не хочу спорить, являются ли эти аргументы хорошими или плохими. Я упоминаю их, чтобы подчеркнуть, что вероятностный случай можно противопоставить этим аргументам «суперзадачи» и можно рассматривать как содержащий дополнительные элементы, которые не имеют ничего общего с суперзадачами. Вероятностный случай имеет уникальный и отдельный элемент (рассуждение с теорией вероятности), который не доказан и не опровергнут аргументом против или для случая сверхзадач.

• Аргументы преемственности : эти аргументы часто носят более концептуальный характер. Например, идея о том, что сверхзадача не может быть завершена, такие как Аксакал и Джошуа, утверждают в своих ответах, и наглядной демонстрацией этих понятий является лампа Томсона , которая в случае парадокса Росса Литтлвуда была бы похожа на вопрос, была удалена последней число нечетное или четное?

• Физические аргументы. Существуют также аргументы, которые бросают вызов математической конструкции как относящейся к физической реализации проблемы. У нас может быть строгая математическая обработка проблемы, но остается вопрос, действительно ли это имеет отношение к механистическому выполнению задачи (помимо упрощенных представлений, таких как преодоление определенных барьеров физического мира в виде ограничений скорости или требований энергии / пространства) ,

  • Одним из аргументов может быть то, что теоретико-множественный предел - это математическое понятие, которое не обязательно описывает физическую реальность.

    Например, рассмотрим следующую проблему: в урне есть шар, внутри которого мы не двигаемся. Каждый шаг мы стираем номер, ранее написанный на шаре, и переписываем новый, более низкий номер на нем. Будет ли урна пустой после бесконечного количества шагов? В этом случае кажется немного более абсурдным использовать теоретический предел множества, который является пустым множеством. Этот предел хорош как математическое обоснование, но отражает ли он физическую природу проблемы? Если мы позволим шарикам исчезать из урн из-за абстрактных математических рассуждений (которые, возможно, следует рассматривать скорее как другую проблему), то точно так же мы могли бы заставить всю урну исчезнуть?

  • Кроме того, дифференцирование шаров и назначение им порядка кажется «нефизическим» (это имеет отношение к математической обработке наборов, но ведут ли себя шары в урне как эти наборы?). Если бы мы перетасовывали шары на каждом шаге (например, каждый шаг случайным образом переключал шарик из сброшенной кучи с шариком из оставшейся кучи бесконечных шаров), таким образом, забыв нумерацию, основанную либо на том, когда они вводят урну, либо на число, которое они получили. с самого начала аргументы, основанные на теоретических пределах множества, больше не имеют смысла, потому что множества не сходятся (не существует стабильного решения после того, как шарик был удален из урны, он может вернуться снова).

    С точки зрения выполнения физических задач по заполнению и опорожнению урны кажется, что не должно иметь значения, есть ли у нас числа на шарах. Это делает теоретическое обоснование множеств более похожим на математическую мысль о бесконечных множествах, чем на фактический процесс.

В любом случае, если мы настаиваем на использовании этих бесконечных парадоксов в дидактических целях, и, таким образом, прежде чем мы перейдем к теории вероятностей, нам сначала нужно будет бороться за получение приемлемого представления о (определенных) суперзадачах, принятых наиболее скептически / упрямо Мыслители, тогда может быть интересно использовать соответствие между парадоксом Зенона и парадоксом Росса-Литтлвуда, описанным Аллисом и Кётсьером (1995) и кратко описанным ниже.

В своей аналогии Ахиллес пытается догнать черепаху, в то время как оба они пересекают флаги, которые расположены таким образом, с расстоянием таким, что расстояние Ахиллеса с флагами вдвое больше, чем черепаха с флагами, а именно . Тогда до 12 вечера. разница в флагах, которые черепаха и Ахилл пройдут, растет . Но, в конце концов, в 12 часов вечера никто, кроме элеатов, не станет утверждать, что они с Ахиллесом и черепахой достигли одной и той же точки и (таким образом) имеют нулевые флаги между ними.

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

Вероятностный случай и как он добавляет новые аспекты проблемы.

Вторая версия, добавленная Россом (в его учебнике), удаляет шары на основе случайного выбора

Давайте теперь предположим, что всякий раз, когда мяч должен быть изъят, этот шар выбирается случайным образом из числа присутствующих. То есть предположим, что в 1 - 12 часов вечера шарики с номерами от 1 до 10 помещаются в урну, и мяч выбирается и извлекается случайным образом, и так далее. В этом случае, сколько шариков в урне в 12 часов?

Решение Росса состоит в том, что вероятность того, что урна будет пустой, равна 1. Однако, хотя аргументация Росса кажется обоснованной и строгой, можно задаться вопросом, какие аксиомы необходимы для этого и какие из использованных теорем могут подвергаться стрессу из-за неявных предположений, которые не могут быть основаны на этих аксиомах (например, предположение, что событиям в полдень могут быть назначены вероятности).

Короче говоря, вычисление Росса представляет собой комбинацию двух элементов, которая делит событие непустой урны на счетное число подмножеств / событий и доказывает, что для каждого из этих событий вероятность равна нулю:

1. Поскольку, , событие, когда шар номер находится в урне в 12 часов вечера, мы имеем$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. Для, , вероятность того, что урна не пуста в 12 часов вечера, мы имеем$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

Вероятностный случай парадокса Росса-Литтлвуда, не рассуждая о сверхзадачах

В самом обнаженном виде парадокса, избавляя его от каких-либо проблем с выполнением сверхзадач, мы можем задаться вопросом о «более простой» проблеме вычитания бесконечных множеств. Например, в трех версиях мы получаем:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

и проблема сводится к вычитанию набора, например, .$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

Любая бесконечная последовательность, , является (в равной степени) возможной последовательностью, которая описывает порядок, в котором шары могут быть удалены в вероятностной реализации Росса. -Маленькая проблема. Давайте назовем эти бесконечные последовательности RL-последовательностями.$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

Теперь, более общий вопрос, без парадоксальных рассуждений о сверхзадачах, касается плотности последовательностей RL, которые не содержат всего набора$\mathbb{N}$

Графический взгляд на проблему.

вложенный, фрактальный, структура

Перед отредактированной версией этого ответа я привел аргумент, который использовал существование инъективной карты от «бесконечных последовательностей, которые очищают урну» до «бесконечных последовательностей, которые не содержат число 1».

Это не правильный аргумент. Сравните, например, с плотностью множества квадратов. Существует бесконечно много квадратов (и существует биективное отношение и ), но множество квадратов имеют нулевую плотность в .$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

Изображение ниже создает лучшее представление о том, как с каждым дополнительным шагом вероятность появления шара 1 в урне уменьшается (и мы можем утверждать то же самое для всех других шаров). Даже если мощность подмножества всех RL-последовательностей (последовательностей смещенных шаров) равна мощности всех RL-последовательностей (изображение отображает своего рода фрактальную структуру, а дерево содержит бесконечно много копий самого себя).

рост выборочного пространства, количество дорожек

На рисунке показаны все возможные реализации для первых пяти шагов со схемой для задачи с теннисным мячом (задача с теннисным мячом, каждый шаг: добавьте 2, удалите 1, растет менее быстро и его легче отобразить). Бирюзовые и фиолетовые линии отображают все возможные пути, которые могут разворачиваться (представьте, что на каждом шаге мы бросаем кубик размером и на основании его результата выбираем один из путей, или, другими словами, на основе результатов мы удаляем один из шариков в урне).$n$$n+1$$n+1$$n+1$

Количество возможных составов урн (блоков) увеличивается с увеличением n + 1-го каталонского числа , а общее количество путей увеличивается с учетом факториала, В случае композиций урн с шариком № 1 внутри (цвет темно-серый) и путей, ведущих к этим прямоугольникам (фиолетовый), числа разворачиваются точно так же, однако на этот раз это n-е каталонское число и факториал,$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

плотность путей, которые оставляют шар внутри$n$

Таким образом, для путей, которые ведут к урне с шаром № 1 внутри, плотность равна И уменьшается с увеличением . В то время как есть много реализаций, которые приводят к нахождению шара в ящике, вероятность приближается к нулю (я бы сказал, что это не делает невозможным, но почти наверняка не происходит, и основной трюк в аргументе Росса состоит в том, что объединение счетного множества нулевых событий также является нулевым событием).$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

Пример путей для первых пяти шагов в задаче с теннисным мячом (каждый шаг: добавить 2 удалить 1)

Аргументы Росса для безусловно пустой урны.

Росс определяет события (подмножества выборочного пространства), , что шар с номером находится в урне на шаге . (в своем учебнике он фактически опускает нижний индекс и выступает за балл 1).$E_{in}$$i$$n$$i$

Доказательство шага 1)

Росс использует свое предложение 6.1. для увеличения или уменьшения последовательности событий (например, уменьшение эквивалентно ).$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

Предложение 6.1. Если является либо возрастающей, либо убывающей последовательностью событий, то$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

Используя это утверждение, Росс утверждает, что вероятность наблюдения мяча в 12 часов вечера (что является событием ) равна$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Аллис и Кётсьер утверждают, что это одно из тех неявных предположений. Сама суперзадача (логически) не подразумевает того, что происходит в 12 часов вечера, и для решения проблемы необходимо делать неявные предположения, и в этом случае мы можем использовать принцип непрерывности на множестве шариков внутри урны, чтобы указать, что происходит на бесконечности. Если (теоретико-множественный) предел бесконечности является конкретным значением, то на бесконечности у нас будет это конкретное значение (не может быть внезапного скачка).

Интересный вариант парадокса Росса-Литтлвуда состоит в том, что мы также случайным образом возвращаем шары, которые были сброшены ранее. В этом случае не будет сходимости (как у лампы Томсона), и мы не можем так же легко определить предел последовательностей (который больше не уменьшается).$E_{in}$

Доказательство шага 2)

Лимит рассчитывается. Это простой алгебраический шаг.

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

Доказательство шага 3)

Утверждается, что шаг 1 и 2 работает для всех с помощью простого утверждения$i$

«Аналогично, мы можем показать, что для всех »$P(F_i)=0$$i$

где - событие, когда мяч был вынут из урны, когда мы достигли 12 часов вечера$F_i$$i$

Хотя это может быть правдой, мы можем задаться вопросом о выражении продукта, нижний индекс которого теперь переходит в бесконечность:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

Я не так много могу сказать об этом, кроме того, что я надеюсь, что кто-то может объяснить мне, работает ли это.

Также было бы неплохо получить лучшие интуитивно понятные примеры о том, что убывающие последовательности , которые требуются для предложения 6.1, не могут все начните с индекса номера шага, , равного 1. Этот индекс должен увеличиваться до бесконечности (что означает не только количество шагов, становящихся бесконечными, но и случайный выбор шара, который должен быть отброшен, становится бесконечным, и количество шаров, для которых мы соблюдаем предел, становится бесконечным). В то время как эта техническая возможность может быть решена (и, возможно, уже была сделана в других ответах, явно или неявно), подробное и интуитивное объяснение может быть очень полезным.$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

На этом шаге 3 это становится довольно техническим, в то время как Росс очень короток об этом. Росс предполагает существование вероятностного пространства (или, по крайней мере, не явно об этом), в котором мы можем применять эти операции на бесконечности, точно так же, как мы можем применять операции в конечных подпространствах.

Ответ Эквалла дает конструкцию, использующую теорему расширения Ионеску-Тулчи , в результате чего получается бесконечное пространство произведений в котором мы можем выразить события бесконечным произведением ядер вероятности, в результате чего .$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

Однако это не прописано в интуитивном смысле. Как мы можем интуитивно показать, что пространство событий работает? То, что оно дополняет, является нулевым множеством (а не числом 1 с бесконечно большим количеством нулей, как, например, решение в скорректированной версии проблемы Росса-Литтлвуда Аллиса и Кётсьера) и что это пространство вероятностей?$E_{i}$

Доказательство шага 4)

Неравенство Буля используется для завершения доказательства.

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

Неравенство доказано для множеств событий, которые являются конечными или бесконечными счетными. Это верно для .$F_i$

Это доказательство Росса не является доказательством в констуктивистском смысле. Вместо того, чтобы доказать, что вероятность равна почти 1, чтобы урна была пустой в 12 часов вечера, она доказывает, что вероятность того, что урна будет заполнена любым шаром с конечным числом, равна почти 0 .

сосредоточенность

Детерминистический парадокс Росса-Литтлвуда содержит явно пустое множество (именно так и началась эта статья). Это делает менее удивительным, что вероятностная версия заканчивается пустым набором, и результат (истинный или нет) не настолько парадоксален, как не вероятностные версии RL. Интересный мысленный эксперимент - следующая версия проблемы RL:

• Представьте, что вы начинаете с урны, заполненной бесконечным количеством шаров, и начинаете случайным образом сбрасывать с нее шары. Эта суперзадача, если она заканчивается, должна логически очистить урну. Так как, если бы оно не было пустым, мы могли бы продолжить. (Однако этот мысленный эксперимент расширяет понятие сверхзадачи и имеет неопределенно определенный конец. Это когда урна пуста или когда мы достигаем 12 часов вечера?)

Есть что-то неудовлетворительное в технике доказательства Росса, или, возможно, понадобится, по крайней мере, какая-то лучшая интуиция и объяснение с другими примерами, чтобы полностью оценить красоту доказательства. Четыре шага вместе образуют механизм, который можно обобщить и, возможно, применить для генерации многих других парадоксов (хотя я пытался, но мне это не удалось).

Мы можем создать теорему так, чтобы для любого другого подходящего пространства выборки, которое увеличивается в размере к бесконечности (пространство выборки задачи RL имеет ). Если мы можем определить исчисляемый набор событий которые представляют собой убывающую последовательность с пределом 0 при увеличении шага , то вероятность события, являющегося объединением этих событий, стремится к нулю при приближении к бесконечности. Если мы сможем объединить события во все пространство (в примере с RL пустая ваза не была включена в объединение, вероятность которого сводится к нулю, поэтому серьезного парадокса не произошло), то мы можем создать более серьезный парадокс, который бросает вызов согласованность аксиом в сочетании с трансфинитным выводом.E i j$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• Одним из таких примеров (или попыткой создать) является бесконечно частое разбиение хлеба на более мелкие кусочки (чтобы выполнить математические условия, скажем, мы делаем только разбиения на куски, имеющие размер положительного рационального числа). Для этого примера мы можем определить события (на шаге x у нас есть кусок размером x), которые являются убывающими последовательностями, и предел вероятности событий стремится к нулю (аналогично как парадокс RL, убывающие последовательности происходят только дальше и дальше во времени и есть точечная, но не равномерная сходимость).

  Мы должны были бы сделать вывод, что когда мы закончим эту сверхзадачу, хлеб исчез . Мы можем пойти в разные стороны здесь. 1) Мы могли бы сказать, что решение - это пустое множество (хотя это решение гораздо менее приятно, чем в парадоксе RL, потому что пустое множество не является частью пространства образца) 2) Мы можем сказать, что существует бесконечно много неопределенных частей ( например, размер бесконечно мал) 3) или, может быть, мы должны были бы заключить (после выполнения доказательства Росса и обнаружения пустым), что это не суперзадача, которую можно выполнить? То, что понятие завершения такой сверхзадачи может быть сделано, но не обязательно «существует» (своего рода парадокс Рассела).

---

Цитата Безиковича, напечатанная в сборнике Литтлвуда:

«Репутация математика основывается на количестве плохих доказательств, которые он дал».

---

Allis, V., Koetsier, T. (1995), О некоторых парадоксах Бесконечного II , Британский журнал по философии науки , с. 235-247

Koetsier, T. (2012), Didactiek встретил oneindig veel pingpongballen, Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, pp. 258-261 ( голландский оригинал , перевод возможен через Google и другие методы)

Литтлвуд, JE (1953), Сборник математик , стр. 5 ( бесплатная ссылка через archive.org )

Мерлин, Д., Sprugnoli Р., Verri MC (2002), проблема теннисного мяча , журнал комбинаторной теории , стр. 307-344

Росс, SM (1976), первый вероятностный курс , (раздел 2.7)

Tymoczko, T. and Henle, J. (оригинал 1995 года) ( ссылка на 2-е издание 1999 года на Google ), Sweet Reason: практическое руководство по современной логике

ОК, попробую еще раз.

Ответ в том, что парадокс чисто математический. Ответ Enumaris и cmaster говорит о том, что происходит, но это другой способ увидеть проблему. Проблема в том, как мы имеем дело с вероятностями с бесконечностями, о чем писал Джейнс (подробности см. В моем другом попытанном ответе).

Бесконечный ряд обычно трактуется так, как будто у него нет конца, но в этой задаче есть время окончания (12 вечера), и поэтому логически, даже если не математически, существует последний цикл добавления и удаления шаров: тот, который происходит бесконечно до 12 вечера. Существование «последнего» цикла позволяет нам смотреть на вероятности как назад, так и вперед во времени.

Рассмотрим десять добавленных шаров. Для каждого из них вероятность их удаления равна нулю, потому что каждый из них является просто одним из бесконечных шаров, которые могут быть удалены. Таким образом, вероятность того, что в 12 часов вечера останется не менее десяти шаров, равна единице.

QED. Вероятностный аргумент, который не приводит к глупости.

Недавно несколько комментариев Вильгельма Вольфганга Мюккенхайма заставили меня пересмотреть некоторые формулировки в моем ответе. Я публикую это как новый ответ, главным образом, потому что другой подход этого ответа, не споря о преподавании этой проблемы, но вместо этого о парадоксе, являющемся недействительным.

В своей длинной рукописи Вильгельм говорит, что

Транзакции возможны только на конечных шагах ( невозможно выполнить действие "между всеми и ").$n$$n$$\omega$

Это напомнило мне о сроке

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

который получен из работы Росса. Этот термин является неопределенным, когда путь к бесконечности не определен для следующего предела.

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

Это похоже на то, что обсуждает Вильгельм, а также упоминается в ответе Аксакала. Шаги во времени становятся бесконечно малыми, поэтому мы сможем достичь 12 часов вечера в этом смысле, но в то же время нам нужно будет добавить и удалить (нефизическое) бесконечное число шариков. Неправильно добавлять эту сверхзадачу к процессу, подобному стрелке Зенона, точно так же, как выключатель парадоксальной лампы Томпсона не может иметь определенного положения в конце сверхзадачи.

С точки зрения предела мы можем сказать, что физический путь к бесконечности, который мы выбираем,

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

так что не ноль, а бесконечность.

Я полагаю, что этот пример поддерживает «если предпосылка ложна, то условное истинно»

В этой вселенной нет бесконечных урн и бесконечной коллекции шаров. Невозможно разбить время на сколь угодно маленькие кусочки.

Таким образом, Шелдон Росс вправе сказать, что урна пуста в 12:00. Студенты, которые говорят, что урна имеет бесконечные шары в 12:00, также правы.

Если вы ответили, что в урне 50 шаров, значит, вы тоже правы.

Я строго не доказал, что эта вселенная не содержит бесконечных урн и бесконечных шаров, и что время не является атомным - я просто верю в эти вещи. Если вы считаете, что эти три утверждения неверны, то вы считаете, что проблема Росса эмпирически фальсифицируема. Я жду ваших экспериментальных результатов.

Я поддерживаю мнение, что проблема некорректна. Когда мы рассматриваем что-то трансфинитное, нам часто приходится использовать ограничение. Кажется, здесь это единственный выход. Поскольку мы различаем разные шары, мы имеем бесконечномерный процесс где обозначает время, если в момент времени есть шар и противном случае.

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

Теперь это на усмотрение каждого, какую конвергенцию использовать: равномерную, компонентную, и т. Д. Излишне говорить, что ответ зависит от выбора.$l_p$

Недоразумение в этой проблеме происходит от пренебрежения тем фактом, что вопросы метрики имеют решающее значение, когда мы рассматриваем сходимость бесконечномерных векторов. Без выбора типа сходимости, правильный ответ не может быть дан.

(Существует компонентная сходимость к нулевому вектору. Пока норма подсчитывает количество шаров, поэтому в этой норме процесс взрывается.)$l_1$

Больше интуиции, чем формального образования, но:

Если интервалы до полуночи уменьшаются вдвое, мы никогда не достигнем полуночи ... мы только приближаемся асимптотически; поэтому можно утверждать , что нет никакого решения.

В качестве альтернативы, в зависимости от формулировки:

• поскольку есть бесконечные интервалы +10 шаров, ответ бесконечен
• поскольку есть бесконечные интервалы (+10 шаров - 1), ответ 10 * бесконечный -1 * бесконечный = 0?
• поскольку есть бесконечные интервалы (+9 шаров) +1, ответ бесконечен + 1

Переписать: 16 января 2018 г.

Раздел 1: Схема

Основные результаты этого поста следующие:

• На полпути мяч имеет вероятность около остаться в пределе, поскольку шаг переходит к - это и наблюдение в реальном мире, и оно получается математически. Производная функция имеет область рациональных чисел в . Например, вероятность в пределе оставшегося шара на полпути соответствует значению области . Эта функция может вычислить вероятность оставления для любой доли размер шага.$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• Анализ Росса не является ошибочным, но он неполный, потому что он пытается перебрать рациональные числа в порядке величины . Рациональные числа не могут быть повторены по порядку величины. Следовательно, анализ Росса не может получить доступ к полному домену и может предложить только ограниченное представление об общем поведении.$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• Анализ Росса, однако, учитывает одно конкретное наблюдаемое поведение: в пределе невозможно посредством последовательной итерации от 1 достичь первого оставшегося набора шариков.
• Предельные последовательности Росса обладают некоторыми убедительными свойствами, которые кажутся интуитивно уникальными.
  Тем не менее, мы показываем другой набор предельных последовательностей, которые удовлетворяют тем же хорошим свойствам и дают значения для нашей функции.

Раздел 2 «Обозначения и терминология» охватывает обозначения и терминологию, используемые в этом посте.

Раздел 3 «Halfway Ballset» представляет наблюдение в реальном мире - сходятся в пределе вероятности оставшегося шара, индекс которого находится на полпути через все вставленные шары. Это предельное значение составляет около 91%. Случай полусферического набора шариков обобщается на любое рациональное в , которое имеет ненулевые предельные значения. $(0,1]$

Раздел 4 «Разрешение парадокса» представляет единую структуру для включения как результатов Росса, так и результатов «рациональной области» (описанных здесь). Как уже отмечалось, анализ Росса предлагает лишь ограниченное представление об общем поведении. Следовательно, источник парадокса идентифицирован и разрешен.

В приложении обсуждаются некоторые другие результаты, менее важные:

• «Ожидания в пределе» вычисляет ожидаемое количество шаров, оставшихся до и включая любую долю размера шага.
• Следствием этого результата является определение индекса первого шара, ожидание которого будет больше единицы.

Раздел 2: Обозначения и терминология

• Мы шаровые индексы, вставленные на шаге как и называем это набором й "ballset". Ballset - это одно слово, созданное для этого поста. Эта терминология, к сожалению, отклоняется от терминологии Росса, но также делает текст намного понятнее и короче.$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• Обозначение относится к случаю, когда шар в наборе шариков остается на этапе , игнорируя другие шарики в наборе шариков.$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• Обозначение является аббревиатурой для и относится к вероятности . Обратите внимание, что все шары в ballset имеют одинаковую вероятность остаться. - Значение равно .$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• Предел Росса - это вероятность при переходе в бесконечность: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• Рациональный предел определяется как предел, когда оба индекса шарика и шаг переходят в бесконечность, сохраняя постоянное соотношение: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

Раздел 3: На полпути мяч

На каждом четном шаге половина набора мячей определяется как й набор мячей. На каждом четном шаге половина вероятности оставшихся определяется как . Таким образом, в пределе половина вероятности оставшегося равна . Приведенная ниже теорема 1 дает числовое значение для половины вероятности оставшегося.$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

Теорема 1 - Предел вероятности элементов в сохраняющей отношение области последовательности

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ Доказательство приведено ниже непосредственно перед приложением.

По теореме 1 половина вероятности остаться в пределе равна что соответствует приблизительному десятичному значению .$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Проверка работоспособности. Давайте сделаем проверку работоспособности, чтобы увидеть, выглядит ли числовой предел вероятности на полпути «правильным».

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

Первые 4 строки - это наполовину вероятности оставшихся значений шага , , и соответственно. Последний ряд является пределом. Кажется, что вероятности на полпути действительно сходятся к предсказанному пределу. Это наблюдение в реальном мире, которое не укладывается в рамки Росса, нуждается в объяснении. $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** Раздел 4 «Разрешение парадокса» **

В этом разделе объясняется единая структура как для анализа Росса, так и для анализа рациональных областей. Рассматривая их вместе, парадокс разрешается.

Рациональный предел сводится к функции из рациональных чисел до переАльса : где и . Здесь указывает , наибольший общий делитель. Эквивалентно утверждения" и являются взаимно простое число ", а" является сокращенной дробью . $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

Предел Росса можно записать как предел последовательности рациональных пределов: Кортеж не является членом рациональных чисел в ; принадлежит поэтому предел Росса изоморфен функции в области и его образ всегда является единственным действительным .

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

Предел Росса и рациональный предел являются одной и той же функцией в двух непересекающихся областях и соответственно. Предел Росса рассматривает только случай, когда индексы шариков были понижены до бесконечно малых значений относительно размер шага. $[0,0]$$(0,1]$

Анализ предела Росса предсказывает, что в пределе последовательный доступ к значениям для никогда не достигнет ненулевого значения. Это правильно и соответствует наблюдению в реальном мире.$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

Анализ рационального предела учитывает наблюдения в реальном мире, такие как наполовину мяч, который не учитывает предел Росса. Функция та же но домен вместо$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

Диаграмма ниже изображает как предельные последовательности Росса, так и рациональные предельные последовательности.

Вероятно, будет справедливым сказать, что анализ Росса включает в себя неявное предположение, что предел Росса и его область являются всей областью интересов. Интуиция, неявно лежащая в основе предположения Росса, похожа на следующие четыре условия, даже если они явно не распознаются:

Пусть - я предельная последовательность Рота. Пусть - объединение предельных последовательностей Рота. $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• (1) Последовательности не пересекаются, и каждая последовательность сходится.$S_i$
• (2) Объединение элементов всех последовательностей охватывает ровно множество всех (шаровых, пошаговых) кортежей, вступающих в игру:$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• (3) Все последовательности бесконечны по , индексу шага, поэтому они не заканчиваются «рано».$S_i$$n$
• (4) Сами последовательности образуют супер-последовательность . Следовательно, эта супер-последовательность может быть «создана» итеративно, т.е. они счетны.$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

Не сразу очевидно, что другая система предельных последовательностей могла бы удовлетворять вышеуказанным пунктам (1) - (4).

Однако теперь мы обсудим другую систему предельных последовательностей, которая действительно удовлетворяет вышеуказанным пунктам (1) - (4).

Пусть , где , представляет рационально-предельную последовательность $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ Пусть - взаимно простые кортежи из : = . Пусть будет объединением упомянутых рациональных предельных последовательностей: $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

Очевидно, последовательности $S_{p,q}$ , объединение которых удовлетворяют вышеуказанным свойствам (1) - (3). Индексы являются в точности рациональными числами в . Чтобы удовлетворить условию (4), нам нужно показать, что рациональные числа в счетны. $S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

(Последовательность Фэри) 2 порядка - это последовательность полностью сокращенных дробей между 0 и 1, которые в наименьших значениях имеют знаменатели, меньшие или равные , расположенные в порядке увеличения размера. Вот первые восемь последовательностей Фэри:$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Пусть представляет ую последовательность Фари без первого элемента .$F^*_n$$n$$0/1$

Пусть будет объединением рациональных предельных последовательностей, которые имеют по крайней мере один элемент вплоть до шага : $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

Элементы индекса , преобразованные из дробей в кортежи, точно индексируют элементы . В следующей таблице сравниваются группировки предельных последовательностей в анализе Росса и рациональном анализе пределов:$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

Наконец, поскольку существуют методы [ 3 ], [ 4 ] для итеративного создания суперпоследовательности , условие (4) также выполняется.$F^*_n$

Один из этих методов, вариант дерева Штерна-Броко, выглядит следующим образом:

Посредник двух рациональных и$a/c$$b/d$ определяется как$\frac{a+b}{c+d}$

• Установить$F*_n = \emptyset$
• Добавить$1/n$ к$F*_n$

• Цикл для в$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • Добавить$F*_{n-1}[i]$ к F * _n $

  • Позволять $x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • Если добавьте x к$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • продолжить цикл
• Добавить к$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

Парадокс был решен.

Доказательство теоремы 1 Сначала отметим, что: где последним преобразованием является преобразование Стерлинга.

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

Затем, синтаксически подставляя и в последнее уравнение (форма Стерлинга), мы получаем $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

Приложение: Другие результаты

Ожидания в пределе

В этом разделе дается закрытое выражение для ожидаемого количества оставшихся шаров вплоть до любой доли размера шага.
Следствием этого результата является числовая аппроксимация индекса первого шарика, ожидание которого будет больше единицы.

( Продолжение следует )

Редактировать Редактировать

Короче. Так называемый парадокс - неопределенная ошибка формы, ошибка новичка с результатом, подобным ошибке деления на ноль, доказывающей, что . Такие ошибки, в данном случае для подсчета чисел, естественно приводят к ответам, которые могут быть 0, или .$1=2$$n$$\infty$

Кстати, когда кто-то добавляет бесконечное число бесконечно малых вероятностей, он создает , неопределенную форму, и доказательство Росса неверно. Чтобы получить правильный ответ, используйте правило L'Hopital. бесконечность не число . Обработка бесконечности, как будто это число, приводит к ошибкам.$\frac{1}{\infty}\infty$