Ошибка в оценке размера набора?

Предположим, у нас есть множество A и подмножество B. Если мы знаем | A |, то мы можем вычислить | B | путем нахождения вероятности p, что элемент, выбранный случайным образом из A, принадлежит B. Определенно | A | p = | B |.

Предположим, что мы генерируем n элементов A равномерно случайным образом и используем эти данные для оценки p (число элементов в B, деленное на n) и, следовательно, оценки | B |.

Насколько надежна эта оценка? Т.е. как мы можем вычислить ошибку?

Как побочный вопрос, есть ли название для этой техники? (похоже, это математическая версия техники метки и повторного захвата )

Вы оцениваете пропорции. Для конкретности представьте, что А - это население избирателей, а В - группа избирателей, которые голосуют за конкретного кандидата. Таким образом, p будет процентом избирателей, которые проголосовали бы за этого кандидата. Позволять:

$\pi$ быть истинным процентом людей, которые проголосовали бы за кандидата

Другими словами:

$\pi = \frac{|B|}{|A|}$

Тогда каждый из ваших образцов - это испытание Бернулли с вероятностью или, что то же самое, вы можете представить, что каждый из ваших образцов - это опрос потенциальных избирателей, спрашивающих их, будут ли они голосовать за кандидата. Таким образом, MLE определяется как:$\pi$$\pi$

$p = \frac{n_B}{n}$

где

$n_B$ - это число людей, которые заявили, что проголосуют за кандидата, или количество элементов, принадлежащих множеству B в вашей выборке размера .$n$

Стандартная ошибка для вашей оценки:

$\sqrt{\frac{\pi (1-\pi)}{n}}$

Вышеприведенное может быть аппроксимировано с помощью MLE для то есть:$\pi$

$\sqrt{\frac{p (1-p)}{n}}$