Дисперсия суммы равна сумме дисперсий?

Верно ли (всегда), что

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

Ответ на ваш вопрос «Иногда, но не в целом».

Чтобы увидеть это, пусть - случайные величины (с конечными дисперсиями). Затем,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Теперь обратите внимание, что , что понятно, если вы Подумайте о том, что вы делаете, когда вычисляете вручную. Следовательно, ( 1 + . . . + П ) ⋅ ( 1 + . . . + П$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

по аналогии,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

так

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

по определению ковариации.

Теперь относительно того, равна ли дисперсия суммы сумме дисперсий? :

• Если переменные некоррелированы, то да : то есть для , тогдая ≠ J V а г ( п Σ я = 1 X я ) = п Σ я = 1 п Σ J = 1 с о v ( Х я , Х J ) = п ∑ i = 1 c o v ( X i${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Если переменные коррелированы, нет, не вообще : например, предположим, что - это две случайные переменные, каждая из которых имеет дисперсию и где . Тогда , поэтому идентификация не выполняется.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• но это возможно для некоторых примеров : предположим, что имеют ковариационную матрицу затем$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Поэтому , если переменные являются некоррелированными , то дисперсия суммы равна сумме дисперсий, но обратное не верно в целом.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Таким образом, если ковариации усредняются до , что было бы следствием, если переменные попарно некоррелированы или если они независимы, то дисперсия суммы является суммой дисперсий.$0$

Пример, где это не так: Пусть . Пусть . Тогда .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Я просто хотел добавить более сжатую версию доказательства, предоставленного Макро, чтобы было легче увидеть, что происходит. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Обратите внимание, что, поскольку$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Для любых двух случайных величин имеем:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Поэтому, как правило, дисперсия суммы двух случайных величин не является суммой дисперсий. Однако если независимы, то , и мы имеем .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Обратите внимание, что мы можем получить результат для суммы случайных величин с помощью простой индукции.$n$

Да, если каждая пара некоррелирована, это правда.$X_i$

Смотрите объяснение в Википедии