В чем разница между непротиворечивой оценкой и объективной оценкой?


125

Я действительно удивлен, что никто, кажется, не спросил это уже ...

При обсуждении оценщиков часто используются два термина: «последовательный» и «беспристрастный». Мой вопрос прост: какая разница?

Точные технические определения этих терминов довольно сложны, и сложно понять, что они означают . Я могу представить себе хорошую оценку и плохую оценку, но мне трудно понять, как любой оценщик может удовлетворить одно условие, а не другое.


13
Вы смотрели на самую первую фигуру в статье Википедии о последовательных оценках , которая конкретно объясняет это различие?
whuber

4
Я читал статьи как для последовательности, так и для предвзятости, но до сих пор не совсем понимаю различие. (На рисунке вы обратитесь к требованиям , что оценка является состоятельной , но предвзято, но не объясняет , почему .)
MathematicalOrchid

1
С какой частью объяснения вам нужна помощь? Подпись указывает на то, что каждая из оценок в последовательности смещена, и это также объясняет, почему последовательность является последовательной. Вам нужно объяснение того, как смещение в этих оценках видно из рисунка?
whuber

5
+1 Поток комментариев, следующий за одним из этих ответов, очень полезен как тем, что он раскрывает по предмету, так и интересным примером того, как интернет-сообщество может работать для выявления и исправления неправильных представлений.
whuber

Ответы:


126

Чтобы определить два термина, не используя слишком много технического языка:

  • Оценщик непротиворечив, если при увеличении размера выборки оценки (производимые оценщиком) «сходятся» к истинному значению оцениваемого параметра. Чтобы быть немного более точным - согласованность означает, что с увеличением размера выборки распределение выборки оценки становится все более концентрированным при истинном значении параметра.

  • Оценщик является беспристрастным, если в среднем достигает истинного значения параметра. Таким образом, среднее значение выборочного распределения оценки равно истинному значению параметра.

  • Два не эквивалентны: Объективность - это утверждение об ожидаемом значении выборочного распределения оценки. Согласованность - это утверждение о том, «где происходит распределение выборки оценки» по мере увеличения размера выборки.

Конечно, одно условие может быть выполнено, а другое - нет. Я приведу два примера. Для обоих примеров рассмотрим образец из популяции .X1,...,XnN(μ,σ2)

  • Беспристрастный, но не последовательный: предположим, вы оцениваете . Тогда является несмещенной оценкой так как . Но не согласован, так как его распределение не становится более концентрированным вокруг с увеличением размера выборки - это всегда !μX1μE(X1)=μX1μN(μ,σ2)

  • Последовательно, но не беспристрастно. Предположим, вы оцениваете . Оценка максимального правдоподобия: где образец среднего. Фактом является то, что , которое можно получить, используя приведенную здесь информацию . Поэтому смещен для любого конечного размера выборки. Мы также можем легко вывести, что Из этих фактов мы можем неофициально увидеть, что распределениеσ2

    σ^2=1ni=1n(XiX¯)2
    X¯
    E(σ^2)=n1nσ2
    σ^2σ^2
    var(σ^2)=2σ4(n1)n2
    σ^2становится все более и более сконцентрированным в мере увеличения размера выборки, поскольку среднее значение сходится к а дисперсия сходится к . ( Примечание: это является доказательством последовательности, используя тот же аргумент, который использовался в ответе здесь )σ2σ20

9
(+1) Хотя не все MLE согласованы: общий результат состоит в том, что в последовательности MLE существует непротиворечивая подпоследовательность. Для надлежащей согласованности требуется несколько дополнительных требований, например, идентифицируемость. Примеры MLE, которые не являются согласованными, встречаются в определенных моделях ошибок в переменных (где «максимум» оказывается седловой точкой).
MånsT

2
Хорошо, EIV MLE, которые я упомянул, возможно, не являются хорошими примерами, так как функция правдоподобия не ограничена и максимум не существует. Это хороший пример того, как подход ML может потерпеть неудачу :) Мне жаль, что я не могу дать соответствующую ссылку прямо сейчас - я в отпуске.
MånsT

Спасибо @ MånsT. Необходимые условия были изложены в ссылке, но это не было ясно из формулировки.
Макро

2
Просто примечание: в этом случае пространство параметров, конечно, не является компактным, в отличие от условий в этой ссылке, и логарифмическая вероятность не вогнута по отношению к . Заявленный результат согласованности, конечно же, остается в силе. σ2
кардинал

2
Вы правы, @cardinal, я удалю эту ссылку. Понятно, что и но я не хочу уходить от отметьте это, превратив это в упражнение по проверке согласованности . E(σ^2)σ2var(σ^2)0σ^2
Макро

24

Согласованность оценки означает, что по мере увеличения размера выборки оценка становится все ближе и ближе к истинному значению параметра. Беспристрастность - это свойство конечной выборки, на которое не влияет увеличение размера выборки. Оценка является несмещенной, если ее ожидаемое значение равно истинному значению параметра. Это будет верно для всех размеров выборки и является точным, тогда как согласованность асимптотическая и только приблизительно равна и не точна.

Сказать, что оценщик является беспристрастным, означает, что если вы взяли много выборок размера и вычислили оценку каждый раз, то среднее значение всех этих оценок будет близко к истинному значению параметра и будет приближаться по мере того, как количество раз вы делаете это, увеличивается , Среднее значение выборки является как последовательным, так и объективным. Выборочная оценка стандартного отклонения является предвзятой, но последовательной.n

Обновите после комментариев в комментариях @cardinal и @Macro: как описано ниже, есть, по-видимому, патологические случаи, когда дисперсия не должна идти до 0, чтобы оценка была строго согласованной, а смещение даже не должно идти 0 тоже нет.


9
@MichaelChernick +1 за ваш ответ, но, что касается вашего комментария, дисперсия непротиворечивой оценки не обязательно идет в . Например, если является выборкой из , , то является (сильной) последовательной оценкой , но , для всех . 0(X1,...,Xn)Normal(μ,1)μ01/X¯1/μvar(1/X¯)=n


6
Майкл, тело твоего ответа довольно хорошее; Я думаю, что путаница была внесена вашим первым комментарием, который приводит к двум утверждениям, которые являются явно ложными и потенциальными путаницами. (Действительно, многие студенты уходят от вводного курса по статистике выпускников именно из-за этих неправильных представлений из-за плохой разграничения между различными способами сближения и их значением. Ваш последний комментарий можно было бы принять за суровую сторону.)
кардинал

9
К сожалению, первые два предложения в вашем первом комментарии и весь второй комментарий являются ложными. Но, боюсь, бесполезно пытаться убедить вас в этих фактах.
кардинал

11
Вот заведомо абсурдный, но простой пример. Идея состоит в том, чтобы проиллюстрировать , что именно может пойти не так и почему. Это действительно имеет практическое применение. Пример : рассмотрим типичную модель iid с конечным вторым моментом. Пусть где не зависит от и каждый с вероятностью и равен нулю в противном случае, причем произвольно. Тогда объективен, имеет дисперсию , ограниченную снизу на иZп ˉ Х пZп=±N1/п2>0 θ п2 θ пцθ^n=X¯n+ZnZnX¯nZn=±an1/n2a>0θ^na2θ^nμпочти наверняка (это сильно соответствует). Я оставляю в качестве упражнения дело о предвзятости.
кардинал

-5

Согласованность: очень хорошо объяснено ранее [с увеличением размера выборки оценки (производимые оценщиком) «сходятся» к истинному значению оцениваемого параметра]

Беспристрастность: он удовлетворяет предположениям 1-5 MLR, известным как теорема Гаусса-Маркова

  1. линейность,
  2. случайная выборка
  3. ожидание нулевой условной средней ошибки
  4. нет идеальной коллинеарности
  5. гомоскедастичности

Тогда оценщик называется СИНИМ (лучший линейный несмещенный оценщик

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.