Имеет ли

Имеет ли подразумевает независимость и ? $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$

Я знаком только со следующим определением независимости между и . $X$ $Y$

f_{x, y} (x, y) = f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
источник

Вам нужно

, а не только для

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Дилип

Начнем с интуиции. Наклон обычной регрессии наименьших квадратов против , для любой функции , пропорциональна ковариации и . Предполагается, что все регрессии все нулевые (не только линейные). Если вы представляете представленное облаком точек (на самом деле, облаком плотности вероятности), то независимо от того, как вы разрежете его по вертикали и измените порядок срезов (который выполняет отображение $Y$ $h(X)$ $h$ $h(X)$ $Y$ $(X,Y)$ $h$ ), регрессия остается нулевой. Это подразумевает, что условные ожидания (которые являются функцией регрессии) являются постоянными. Мы могли бы обойтись без условных распределений , сохраняя ожидания постоянными, тем самым разрушая любые шансы на независимость. Поэтому следует ожидать, что заключение не всегда верно. $Y$

Есть простые контрпримеры. Рассмотрим примерное пространство из девяти абстрактных элементов и дискретную меру с вероятностью, определяемой как

Ω = {ω_{i, j} ∣ - 1 \leq i, j, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, j}) = 1 / 5 (j = \pm 1); P (ω_{i, j} = 1 / 10) otherwise.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

Определим

Икс (ω_{я, J}) знак равно J, Y (ω_{я, J}) знак равно я,

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

Мы могли бы отобразить эти вероятности в виде массива

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(со всеми записями , умноженной на ) , индексированных в обоих направлениях по значениям . $1/10$ $-1,0,1$

Предельные вероятности и

е_{Икс} (- 1) знак равно е_{Икс} (1) знак равно 3 / 10; е_{Икс} (0) знак равно 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$

как вычислено сумм столбцов и строк сумм массива, соответственно. Так

эти переменные не являются независимыми.

е_{Y} (- 1) знак равно е_{Y} (1) знак равно 4 / 10; е_{Y} (0) знак равно 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$

е_{Икс} (0) е_{Y} (0) знак равно (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 знак равно п (ω_{0, 0}) знак равно е_{Икс Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$

Это было построено, чтобы сделать условное распределение когда отличным от других условных распределений для . Это можно увидеть, сравнив средний столбец матрицы с другими столбцами. Симметрия в координатах и во всех условных вероятностях сразу показывает, что все условные ожидания равны нулю, откуда все ковариации равны нулю, независимо от того, как связанные значения могут быть переназначены столбцам. $Y$ $X=0$ $X=\pm 1$ $Y$ $X$

$27$

— Whuber
источник