Проверка гипотез на обратной ковариационной матрице

Предположим, я наблюдаю iid и хочу проверить vech для согласованной матрицы и вектора . Известны ли работы по этой проблеме? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

Очевидная (для меня) попытка была бы с помощью теста отношения правдоподобия, но похоже, что для максимизации правдоподобия с учетом ограничений потребуется решатель SDP и он может быть довольно сложным. $H_0$

— shabbychef
источник

Есть ли у вас дополнительные ограничения на ? Если обратимо, то

. То задача сводится к известной проблеме: что тестирования ли

. Здесь

(помните, что

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$ определяет

однозначно).

B

$B$

— MånsT

@ MånsT; к сожалению, я заинтересован в общем случае. Обычно

будет иметь около 10 строк и 400 столбцов или около того.

A

$A$

— Шаббычеф

Одна вещь, которую я задаюсь вопросом об этой проблеме, касается осуществимости. Очевидно, что пары

легко найти такими, чтобы ни одна положительная полуопределенная матрица не могла удовлетворить ограничениям. Потенциально более проблематичным для теста отношения правдоподобия может показаться, что могут быть случаи, в которых даже когда нулевая гипотеза была верна, с высокой вероятностью можно получить недопустимый экземпляр проблемы. Возможно, последняя часть ошибается. (+1) Вы склонны задавать интересные и сложные задачи. Мне нравится читать и думать о них немного.

(A, a)

$(A,a)$

— кардинал

@ Cardinal Хороший улов! Я не думал об этом, потому что в рассматриваемом приложении нулевая гипотеза ограничивает только недиагональные элементы из

(все соответствующие столбцы в

равны нулю). Поскольку диагональ может быть сколь угодно большой, я могу гарантировать выполнимость.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

— Шаббычеф

У Берана и Шриваставы (1985, Annals of Statistics) была статья, в которой они предложили общий подход начальной загрузки, чтобы применить вращение к ковариационной матрице, чтобы оно соответствовало распределению при нулевом значении. Точка зрения @ cardinal о существовании такой матрицы здесь очень актуальна. Вы должны быть в состоянии придумать хотя бы какое-то приближение для матрицы, которая удовлетворяет ограничениям, которые вы накладываете под нулем.

У Чена, Варията и Боваса была статья о скорректированной эмпирической вероятности, где они продемонстрировали, как ее можно использовать для проверки довольно странной структуры на ковариационной матрице. Я думаю, что эта статья в конечном итоге вышла в CJS.

— Stask
источник

Я не уверен, что смогу легко перевести их в решение моей проблемы, но они оба увлекательные чтения. +1.

— Шаббычеф