Путаница в отношении кригинга

Я читал эту статью в Википедии, связанную с кригингом. Я не понял той части, когда говорится, что

Кригинг вычисляет наилучшую линейную несмещенную оценку, , для , так что дисперсия кригинга сводится к минимуму с условием несмещенности. Я не получил вывод, а также как минимизировать дисперсию. Какие-либо предложения?$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

Специально, я не получил ту часть, где применяется минимизация при условии непредвзятости.

Я думаю, что это должно было быть

E [Z '(x0) -Z (x0)] вместо E [Z' (x) -Z (x)] не так ли. 'эквивалентно шляпе в статье вики. Также я не понял, как происходит ошибка кригинга

Предположим, что является вектором, который, как предполагается, имеет многомерное распределение неизвестного среднего и известной дисперсионно-ковариационной матрицы . Мы наблюдаем из этого распределения и хотим предсказать из этой информации, используя несмещенный линейный предиктор:$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• Линейный означает, что прогноз должен иметь форму для определения коэффициентов . Эти коэффициенты могут максимально зависеть от того, что известно заранее, а именно от записей .$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

Этого предиктора также можно считать случайной величиной .$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• Несмещенный означает, что ожидание равно его (неизвестному) среднему значению .$\hat{Z_0}$$\mu$

Запись вещей дает некоторую информацию о коэффициентах:

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

Вторая строка обусловлена ​​линейностью ожидания, а все остальное - простая алгебра. Поскольку предполагается, что эта процедура работает независимо от значения , очевидно, что коэффициенты должны суммироваться в единицу. Записывая коэффициенты в векторной записи , это можно аккуратно записать .$\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

Среди множества таких непредвзятых линейных предикторов мы ищем такой, который как можно меньше отклоняется от действительного значения , измеренного в среднем квадрате комнаты. Это опять-таки расчет. Он опирается на билинейность и симметрию ковариации, чье приложение отвечает за суммирование во второй строке:

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

Откуда коэффициенты могут быть получены путем минимизации этой квадратичной формы с учетом (линейного) ограничения . Это легко решается с использованием метода множителей Лагранжа, в результате чего получается линейная система уравнений, «уравнения Кригинга».$\mathbf{1}\lambda=1$

В приложении - пространственный случайный процесс («случайное поле»). Это означает, что для любого заданного набора фиксированных (не случайных) местоположений вектор значений в этих местоположениях является случайным с каким-то многомерным распределением. Напишите и примените предыдущий анализ, предполагая, что средства процесса во всех местах одинаковы, и предполагая ковариационную матрицу значений процесса при этих локация известна с уверенностью.$Z$$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$$Z$$\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$$n+1$$\mathbf{x_i}$$n+1$

Давайте интерпретировать это. При допущениях (включая постоянное среднее и известную ковариацию) коэффициенты определяют минимальную дисперсию, достижимую любой линейной оценкой. Давайте назовем это отклонение («ОК» для «обычного кригинга»). Это зависит исключительно от матрицы . Это говорит нам о том, что если бы нам пришлось многократно из и использовать эти коэффициенты для прогнозирования значений из оставшихся значений каждый раз, то$\sigma_{OK}^2$$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. В среднем наши прогнозы были бы правильными.

2. Как правило, наши прогнозы будут отклоняться около от фактических значений .$z_0$$\sigma_{OK}$$z_0$

Необходимо сказать гораздо больше, прежде чем это можно будет применить к практическим ситуациям, таким как оценка поверхности по точечным данным: нам нужны дополнительные предположения о том, как статистические характеристики пространственного процесса изменяются от одного местоположения к другому и от одной реализации к другой (даже если на практике обычно доступна только одна реализация). Но этого изложения должно быть достаточно, чтобы понять, как поиск «лучшего» непредвзятого линейного предиктора («BLUP») напрямую ведет к системе линейных уравнений.

---

Кстати, кригинг, как это обычно практикуется, не совсем совпадает с оценкой наименьших квадратов, потому что оценивается в предварительной процедуре (известной как «вариография») с использованием тех же данных. Это противоречит предположениям этого вывода, который предполагал, что была известна (и тем более независима от данных). Таким образом, с самого начала в кригинге заложены некоторые концептуальные и статистические недостатки. Вдумчивые практикующие всегда знали об этом и находили различные творческие способы (пытаться) оправдать несоответствия. (Наличие большого количества данных может действительно помочь.) Теперь существуют процедуры для одновременной оценки$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$и прогнозирование коллекции значений в неизвестных местах. Они требуют немного более строгих предположений (многомерной нормальности), чтобы совершить этот подвиг.

Кригинг - это просто оценка методом наименьших квадратов для пространственных данных. Как таковой, он обеспечивает линейную несмещенную оценку, которая минимизирует сумму квадратов ошибок. Так как оно несмещено, MSE = оценочная дисперсия и является минимумом.