Ожидаемое значение времени ожидания для первого из двух автобусов, курсирующих каждые 10 и 15 минут

19

Я наткнулся на вопрос интервью:

Существует красный поезд, который идет каждые 10 минут. Каждые 15 минут идет синий поезд. Оба они начинаются со случайного времени, поэтому у вас нет расписания. Если вы прибываете на станцию в произвольное время и садитесь на любой поезд, который прибывает первым, каково ожидаемое время ожидания?

probability random-variable expected-value

— Shengjie Zhang
источник

3

Поезда прибывают вовремя, но с неизвестными одинаково распределенными фазами, или они следуют пуассоновскому процессу с помощью 10 минут и 15 минут.

— Tilefish Poele

1

Бывший, а не Пуассон.

— Shengjie Zhang

7

@Tilefish делает важный комментарий, на который все должны обратить внимание. Там нет однозначного ответа. Вы должны предположить, что может означать «начать со случайного времени». (Означает ли это, что они начинаются одновременно или что они начинаются в разное неизвестное время? Что будет оправдывать трактовку «неизвестного» как случайной величины с определенным известным распределением?) Как функция их разности фаз (которая имеет значение только по модулю 5 минут), ответ может варьироваться от до . Равномерное распределение разности фаз даст .

15 / 4

$15/4$

25 / 6

$25/6$

35 / 9

$35/9$

— whuber

@whuber каждый, похоже, интерпретировал комментарий ОП, как будто два автобуса стартовали в два разных случайных момента. То, что они начнутся в одно и то же случайное время, кажется необычным

— Аксакал

1

@Aksakal. Не всем: я не знаю, и по крайней мере один ответ в этой теме - нет, поэтому мы видим разные числовые ответы. Более того, почти никто не признает тот факт, что они должны были сделать такое толкование вопроса, чтобы получить ответ.

— whuber

15

Один из способов решения этой проблемы - начать с функции выживания. Чтобы ждать как минимум минут, нужно ждать как минимум минут как для красного, так и для синего поезда. Таким образом, общая функция выживания является просто продуктом отдельных функций выживания: $t$ $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

которая для - это вероятность того, что вам придется ждать не менее минут следующего поезда. Это учитывает разъяснение ФП в комментарии, что правильные предположения, которые следует принять, это то, что каждый поезд находится в фиксированном расписании, не зависящем от другого, и от времени прибытия пассажира, и что фазы двух поездов равномерно распределены. , $0 \le t \le 10$ $t$

Тогда PDF получается как

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

И ожидаемое значение получается обычным способом:

$E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$ ,

который работает до минут. $\frac{35}{9}$

— Дейв
источник

Дейв, можешь объяснить, как p (t) = (1-s (t)) '?

— Chef1075

Я могу объяснить, что для вас S (t) = 1-F (t), p (t) - это просто f (t) = F (t) '.

— Глубокий Север

4

Идея функции выживания великолепна. Но зачем выводить PDF, если вы можете напрямую интегрировать функцию выживания, чтобы получить ожидание? Фактически, две трети этого ответа просто демонстрируют фундаментальную теорему исчисления с конкретным примером. И что оправдывает использование продукта для получения ? За этим скрытое предположение.

S

$S$

— whuber

2

@whuber Я предпочитаю этот подход, выводя PDF из функции выживания, потому что он правильно обрабатывает случаи, когда область случайной величины не начинается с 0.

— Дейв

2

(1) Ваш домен является положительным. (2) Формула легко обобщается. ,

— whuber

9

Е [T] знак равно \int_{Икс} \int_{Y} мин (Икс, Y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d Икс d Y знак равно \int_{Икс} (\int_{Y < Икс} Y d Y + \int_{Y > Икс} Икс d Y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d Икс

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{Y < Икс} Y d Y знак равно Y^{2} / 2 |_{0}^{Икс} знак равно {Икс}^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{Y > Икс} Икс d Y знак равно Икс Y |_{Икс}^{15} знак равно 15 Икс - {Икс}^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3,89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

Вот код MATLAB для симуляции:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Аксакал
источник

1

Вы делаете неправильные предположения о начальной отправной точке поездов. т.е. используя вашу логику, сколько красных и синих поездов приходит каждые 2 часа? Сколько всего поездов за 2 часа? и т. д.

— Tilefish Poele

1

Могут ли поезда прибыть не в минуту 0, а в минуту 60?

— Poele Tilefish

1

а что если они начнутся одновременно, это то, что я пытаюсь сказать. Что, если они оба начинают с минуты 0. Сколько у вас поездов?

— Poele Tilefish

1

Симуляция точно не эмулирует постановку задачи. В частности, он не моделирует «случайное время», в которое вы появляетесь на автобусной станции. Как таковой, он воплощает в себе несколько неустановленных предположений о проблеме.

— whuber

2

@whuber он имитирует фазу автобусов относительно моего прибытия на станцию

— Аксакал

4

Предполагая, что каждый поезд находится в фиксированном расписании, не зависящем от другого и от времени прибытия пассажира, вероятность того, что ни один поезд не прибудет в первые минут, равна для , что при интеграции дает минут $x$ $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ $\frac{35}9\approx 3.889$

В качестве альтернативы, если предположить, что каждый поезд является частью процесса Пуассона, общая скорость составляет поездов в минуту, что делает ожидаемое ожидание время минут $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— Генри
источник

3

@ Дейв, это нормально, если поддержка не отрицательных вещественных чисел.

— Нил Г

3

@dave Он пропускает некоторые обоснования, но это правильное решение, если вы предполагаете, что прибытие поездов распределяется равномерно (то есть, фиксированное расписание с известными постоянными временами между поездами, но с неизвестным смещением). Работает с любым количеством поездов. Это объясняется тем, что ожидаемое значение неотрицательной случайной величины является интегралом ее функции выживания.

— Нил Г

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 На данный момент это единственный ответ, который явно о его предположениях. Все остальные делают некоторые критические предположения, не признавая их.

— whuber

2

Я, вероятно, ошибаюсь, но предполагая, что время начала каждого поезда следует за равномерным распределением, я бы сказал, что при прибытии на станцию в случайное время ожидаемое время ожидания для:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

Как отмечалось в комментариях, я понимал, что оба они стартуют в случайное время, как «два поезда стартуют в одно и то же случайное время». Что является очень ограничивающим предположением.

— Keepalive
источник

1

Благодарность! Вы получили правильный ответ. Но 3. для меня все еще не очевидно. Не могли бы вы объяснить немного больше?

— Shengjie Zhang

1

Это неправильный ответ

— Аксакал

1

Я думаю, что подход хорош, но ваш третий шаг не имеет смысла.

— Нил Г

2

Этот ответ предполагает, что в какой-то момент красный и синий поезда прибывают одновременно: то есть они находятся в фазе. Другие ответы делают другое предположение о фазе.

— whuber

2

$\Delta$ $0\le\Delta<10$ $t=0$

$\Delta$ $0$ $5$ $t=0$ $t=30$ $\Delta$ $10$ $5-\Delta$ $\Delta + 5$ $10-\Delta$

$W_\Delta(t)$ $t$ $W_\Delta(t)$ $t$ $-1$ $0$ $30$ $30$

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$

Δ + 5

$\Delta+5$

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$

$\Delta$

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
источник

2

Это пуассоновский процесс. Красный поезд прибывает в соответствии с распределением Пуассона с параметром скорости 6 / час.
Синий поезд также прибывает в соответствии с распределением Пуассона со скоростью 4 / час. Красные поезда и синие поезда являются независимыми. Общее количество прибывающих поездов - также Пуассон со скоростью 10 / час. Так как сумма времени между прибытием поезда является экспоненциальной и составляет в среднем 6 минут. Поскольку среднее экспонента является обратной величиной параметра скорости Пуассона. Поскольку экспоненциальное распределение не имеет памяти, ожидаемое время ожидания составляет 6 минут.

— Alison
источник

Пуассон - это предположение, которое не было определено ФП. Но некоторые предположения, подобные этому, необходимы. Логика безупречна. +1 Мне нравится это решение.

— Майкл Р. Черник

1

ОП особо отметил в комментариях, что процесс не Пуассона

— Аксакал