Неформально распределение вероятностей определяет относительную частоту результатов случайной величины - ожидаемое значение можно рассматривать как средневзвешенное значение этих результатов (взвешенное по относительной частоте). Точно так же ожидаемое значение можно рассматривать как среднее арифметическое для набора чисел, сгенерированного в точной пропорции к их вероятности появления (в случае непрерывной случайной величины это не совсем верно, поскольку конкретные значения имеют вероятность ).0
Связь между ожидаемым значением и средним арифметическим наиболее ясна с дискретной случайной величиной, где ожидаемое значение
E(X)=∑SxP(X=x)
где - пробное пространство. В качестве примера предположим, что у вас есть дискретная случайная величина такая, что:XSX
X=⎧⎩⎨123with probability 1/8with probability 3/8with probability 1/2
То есть массовая функция вероятности , и . Используя формулу выше, ожидаемое значениеР ( Х = 2 ) = 3 / 8 Р ( Х = 3 ) = 1 / 2P(X=1)=1/8P(X=2)=3/8P(X=3)=1/2
E(X)=1⋅(1/8)+2⋅(3/8)+3⋅(1/2)=2.375
Теперь рассмотрим числа, сгенерированные с частотами, точно пропорциональными массовой функции вероятности - например, набор чисел - два с, шесть с и восемь с. Теперь возьмем среднее арифметическое этих чисел:{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3}123
1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+316=2.375
и вы можете увидеть, что он точно равен ожидаемому значению.