Есть ли обобщение следа Пиллая и следа Хотеллинга-Лоули?

В условиях многомерной множественной регрессии (векторный регрессор и регрессия) четыре основных критерия общей гипотезы (лямбда Вилка, Пиллаи-Бартлетт, Хотеллинг-Лоули и самый большой корень Роя) зависят от собственных значений матрицы , где и - «объясненная» и «общая» вариационные матрицы. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Я заметил , что ПИЛЛАИ и Хотеллинг-Lawley статистические данные могут одновременно быть выражены как для, соответственно, . Я смотрю на приложение, в котором распределение этого следа, определенного для популяционных аналогов и , представляет интерес для случая . (По модулю ошибки в моей работе.) Мне любопытно, есть ли известное объединение выборочной статистики для общего

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$ или какое-то другое обобщение, которое захватывает два или более из четырех классических тестов. Я понимаю, что для

не равного

или

, числитель больше не выглядит как хи-квадрат под нулем, и поэтому центральное F-приближение кажется сомнительным, так что, возможно, это тупик.

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$

Я надеюсь , что там были некоторые исследования о распределении при нулевой ( т.е. истинная матрица коэффициентов регрессии является все равны нулю), и при альтернативе. Меня особенно интересует случай , но если есть работа над общим случаем , я мог бы, конечно, использовать это. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
источник

H

$H$

E

$E$

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

Спасибо! Я посмотрю. (Кстати, я просто дразнил, основываясь на выборе букв, «h» для «объяснил» и «e» для «всего».) Кстати, интересный вопрос; (+1) от меня.

— кардинал

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

Шутка была достаточно плохой, чтобы потребовалось много кофеина, чтобы заметить.

— кардинал

Я полагаю, что продуктивные обобщения вытекают из наблюдений, которые

${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
некоторые из этих тестов могут быть нормой матрицы , например, самый большой корень Роя является спектральным, или , норма . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
некоторые из тестов могут иметь обобщенную форму энтропии , например, след Хотеллинга-Лоули - GE (1), самый большой корень Роя - GE ( ), а Уилкса - GE (-1) на , с точностью до монотонного преобразования. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Когда используются другие нормы или другие обобщенные параметры энтропии, могут быть получены другие статистические данные, которые могут иметь смысл. Я сомневаюсь, что кто-нибудь из них произведет вашу , хотя. $\psi_2$

— Stask
источник

Я считаю, что у нас есть , где - собственные значения . Но это, кажется, никуда меня не приведет. Я думаю, я не знаю достаточно о распределении сумм собственных значений ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef