«Абсолютно непрерывная случайная величина» против «Непрерывная случайная величина»?

В книге Валентина В. Петрова «Предельные теоремы теории вероятностей» я увидел различие между определениями «непрерывного» и «абсолютно непрерывного», которое сформулировано следующим образом:

X P ( X ∈ B ) = 0 B P ( X ∈ B ) = 0 B$(*)$ "... Распределение случайной величины называется непрерывным, если для любого конечного или счетного множества точек вещественной линии. быть абсолютно непрерывным, если для всех борелевских множеств нулевой меры Лебега ... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

Концепция, с которой я знаком, это:

$(\#)$ «Если случайная переменная имеет непрерывную кумулятивную функцию распределения, то она абсолютно непрерывна».

( ∗ ) ( # $\textbf{My questions are:}$ два описания об «абсолютной непрерывности» в и говорят об одном и том же? Если да, как я могу перевести одно объяснение в другое?$(*)$$(\#)$

Спасибо!

Описания различаются: только первый является правильным. Этот ответ объясняет, как и почему.$(*)$

Непрерывные распределения

«Непрерывное» распределение непрерывно в обычном смысле непрерывной функции . Одно определение (обычно первое, с которым люди сталкиваются в своем образовании) состоит в том, что для каждого и для любого числа существует (в зависимости от и ), для которой значения на - окрестности меняются не более чем на от .$F$x ϵ > 0 δ x ϵ F δ x ϵ F ( x )$x$$\epsilon\gt 0$$\delta$$x$$\epsilon$$F$$\delta$$x$$\epsilon$$F(x)$

От этого короткого шага до демонстрации того, что когда непрерывное является распределением случайной величины , то для любого числа . В конце концов, определение непрерывности подразумевает, что вы можете уменьшить чтобы сделать таким же маленьким, как любой и поскольку (1) эта вероятность не равна меньше чем и (2) может быть сколь угодно малым, следовательно, . Счетная аддитивность вероятности расширяет этот результат любого конечного или счетного множества .$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

Абсолютно непрерывные распределения

Все функции распределения определяют положительные конечные меры определяемые$F$ $\mu_F$

Абсолютная преемственность является понятием теории меры. Одна мера абсолютно непрерывна относительно другой меры (оба определены на одной и той же сигма - алгебры) , когда для любого измеримого множества , означает . Другими словами, относительно не существует наборов "small" (мера ноль), которым назначает "большую" (ненулевую) вероятность.$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

Мы будем считать обычной мерой Лебега, для которой - длина интервала. Вторая половина утверждает, что мера вероятности абсолютно непрерывно относительно меры Лебега.$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Абсолютная преемственность связана с дифференцируемостью. Производная одной меры по отношению к другой (в некоторой точке ) является интуитивным понятием: возьмите набор измеримых окрестностей которые уменьшаются до и сравните две меры в этих окрестностях. Если они всегда приближаются к одному и тому же пределу, независимо от того, какая последовательность окрестностей выбрана, тогда этот предел является производной. (Существует техническая проблема: вам нужно ограничить эти окрестности, чтобы они не имели «патологических» форм. Это можно сделать, потребовав, чтобы каждый район занимал значительную часть области, в которой он находится.)$x$$x$$x$

Дифференцирование в этом смысле как раз то, что вопрос в том, что такое определение вероятности на непрерывном распределении? обращается.

Запишем для производной от по . Соответствующая теорема - это теоретико-мерная версия Фундаментальной теоремы исчисления --asserts$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$ абсолютно непрерывен относительно тогда и только тогда, когда для каждого измеримого множества , [Рудин, теорема 8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

Другими словами, абсолютная непрерывность ( относительно ) эквивалентна существованию функции плотности .$\mu_F$$\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Резюме

1. Распределение непрерывно, когда непрерывно как функция: интуитивно, оно не имеет «скачков».$F$$F$

2. Распределение абсолютно непрерывно, когда оно имеет функцию плотности (относительно меры Лебега).$F$

То, что два вида непрерывности не эквивалентны , демонстрируется примерами, например, описанными на https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Это знаменитая функция Кантора . Для этой функции почти везде горизонтален (как ее графика), поэтому почти везде нулевой, и поэтому . Это, очевидно, не дает правильное значение (в соответствии с аксиомой полной вероятности).$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

Комментарии

Практически все распределения, используемые в статистических приложениях, являются абсолютно непрерывными, нигде не непрерывными (дискретными) или их комбинациями, поэтому различие между непрерывностью и абсолютной непрерывностью часто игнорируется. Тем не менее, неспособность оценить это различие может привести к грязной аргументации и плохой интуиции, особенно в тех случаях, когда строгость наиболее необходима: а именно, когда ситуация запутанная или неинтуитивная, поэтому мы полагаемся на математику, чтобы привести нас к исправлению результатов. Вот почему мы обычно не занимаемся этим на практике, но каждый должен знать об этом.

Ссылка

Рудин, Уолтер. Реальный и комплексный анализ . McGraw-Hill, 1974: разделы 6.2 (Абсолютная непрерывность) и 8.1 (Производные мер).