Интуитивное объяснение единичного корня

Как бы вы объяснили интуитивно, что такое единичный корень в контексте теста единичного корня?

Я думаю о способах объяснения, которые я основал в этом вопросе .

Случай с корневым модулем состоит в том, что я знаю (кстати, немного), что тест корневого модуля используется для проверки стационарности во временном ряду, но это все.

Как бы вы объяснили это непрофессионалу или человеку, изучившему базовый курс по вероятности и статистике?

ОБНОВИТЬ

Я принял whuber-ответ, потому что он отражает то, что я здесь спросил. Но я призываю всех, кто пришел сюда, прочитать также ответы Патрика и Майкла, поскольку они являются естественным «следующим шагом» в понимании Корня единицы. Они используют математику, но очень интуитивно.

Он только что пришел на мост; и не смотря куда он идет, он споткнулся о что-то, и еловая шишка выскочила из его лапы в реку.

«Надоело», сказал Пух, когда он медленно плыл под мостом, и он вернулся, чтобы получить еще одну еловую шишку с рифмой. Но затем он подумал, что вместо этого он просто посмотрит на реку, потому что это был мирный день, поэтому он лег и посмотрел на нее, и она медленно ускользнула под ним. , , и внезапно его еловая шишка тоже ускользнула.

"Это смешно", сказал Пух. «Я бросил его на другую сторону, - сказал Пух, - и он вышел на эту сторону! Интересно, будет ли это снова?»

А. А. Милн, «Дом в углу Пуха» (Глава VI. В которой Пух придумывает новую игру и в нее входит Иа).

Вот картина течения по поверхности воды:

Стрелки показывают направление потока и связаны линиями тока. Еловая шишка будет стремиться следовать линии тока, в которой она падает. Но он не всегда делает это одинаково каждый раз, даже когда он падает в одном и том же месте в потоке: случайные колебания на его пути, вызванные турбулентностью в воде, ветром и другими капризами природы, выбрасывают его на соседние линии потока

Здесь еловая шишка была сброшена в верхнем правом углу. Он более или менее следовал за линиями потока - которые сходятся и текут вниз и влево - но на этом пути потребовались небольшие обходные пути.

«Авторегрессионный процесс» (процесс AR) - это последовательность чисел, которые, как считается, ведут себя как определенные потоки. Двумерная иллюстрация соответствует процессу, в котором каждое число определяется его двумя предыдущими значениями плюс случайный «обход». Аналогия проводится путем интерпретации каждой последующей пары в последовательности как координаты точки в потоке. Мгновенно за мгновением поток потока изменяет координаты еловой шишки таким же математическим способом, который дает процесс AR.

Мы можем восстановить исходный процесс из основанной на потоке картинки, записав координаты каждой точки, занятой еловой шишкой, и затем стеря все, кроме последнего числа в каждом наборе координат.

Природа - и в особенности потоки - более богата и разнообразна, чем потоки, соответствующие процессам AR. Поскольку предполагается, что каждое число в последовательности одинаково фиксировано зависит от своих предшественников - кроме случайной обходной части - потоки, которые иллюстрируют процессы AR, демонстрируют ограниченные закономерности. Они действительно могут показаться текущими как поток, как видно здесь. Они также могут быть похожи на вихрь вокруг стока. Потоки могут возникать в обратном направлении, казалось бы, литься наружу из стока. И они могут выглядеть как устья двух ручьев, разбивающихся вместе: два источника воды текут прямо друг на друга, а затем расходятся в стороны. Но это все. Вы не можете иметь, скажем, плавный поток с вихрями по сторонам. Процессы AR слишком просты для этого.

В этом потоке еловая шишка была сброшена в правом нижнем углу и быстро перенесена в вихрь в верхнем правом углу, несмотря на небольшие случайные изменения в положении, в котором она находилась. Но он никогда не перестанет двигаться из-за тех самых случайных движений, которые спасают его от забвения. Координаты еловой шишки немного смещаются - действительно, они, как видно, колеблются в целом вокруг координат центра вихря. В первом потоке потока координаты неизбежно продвигались вдоль центра потока, который быстро захватывал конус и уносил его быстрее, чем его случайные обходные пути могли замедлить его: они изменялись во времени. Напротив, кружение вокруг вихря является примером стационарногопроцесс захвата еловой шишки; стекающий вниз по течению, в котором конус вытекает из поля зрения - тренд - нестационарен.

Между прочим, когда поток для процесса AR уходит вниз по течению, он также ускоряется. Он становится все быстрее и быстрее по мере движения конуса.

Природа потока AR определяется несколькими особыми, «характерными» направлениями, которые обычно проявляются на диаграмме потоков: линии тока сходятся к этим направлениям или приходят от них. Всегда можно найти столько характерных направлений, сколько есть коэффициентов в процессе AR: два на этих иллюстрациях. С каждым характерным направлением связано число, его «корень» или «собственное значение». Когда размер числа меньше единицы, поток в этом характерном направлении направляется к центральному местоположению. Когда размер корня больше единицы, поток ускоряется вдали от центрального места.$1$- преобладают случайные силы, воздействующие на конус. Это «случайная прогулка». Конус может медленно уходить, но без ускорения.

(Некоторые рисунки отображают значения обоих корней в своих заголовках.)

Даже Пух - медведь с очень маленьким мозгом - признал бы, что поток захватит его еловую шишку только тогда, когда весь поток направлен к одному вихрю или водовороту; в противном случае на одном из этих случайных объездов конус в конечном итоге окажется под воздействием той части потока с корнем, превышающим , откуда он уйдет вниз по течению и будет потерян навсегда. Следовательно, процесс AR может быть стационарным тогда и только тогда, когда все характерные значения имеют размер меньше единицы .$1$

Экономисты, пожалуй, величайшие аналитики временных рядов и работодатели технологии AR. Их серии данных обычно не ускоряются вне поля зрения. Поэтому они касаются только того, существует ли характерное направление, значение которого может достигать : «корень единицы». Знание того, соответствуют ли данные такому потоку, может многое сказать экономисту о потенциальной судьбе его пуха: о том, что произойдет в будущем. Вот почему может быть важно проверить наличие единичного корня. Хорошая статья в Википедии объясняет некоторые последствия.$1$

Пух и его друзья нашли эмпирический тест на стационарность:

Теперь однажды Пух, Пятачок, Кролик и Ру все вместе играли в «Пухстикс». Они бросили свои палки, когда Кролик сказал: «Иди!» а потом они поспешили перебраться на другую сторону моста, и теперь они все наклонились через край, ожидая увидеть, чья палка выйдет первой. Но это было долгое время, потому что в тот день река была очень ленивой, и вряд ли ей показалось, что она вообще туда не дошла.

"Я вижу свое!" воскликнул Ру. «Нет, я не могу, это что-то еще. Ты видишь свое, Пятачок? Я думал, что смогу увидеть свое, но не смог. Вот оно! Нет, это не так. Ты можешь видеть свое, Пух? "

"Нет", сказал Пух.

«Я ожидаю, что моя палка застряла», сказал Ру. "Кролик, моя палка застряла. Твоя палка застряла, Пятачок?"

«Они всегда занимают больше времени, чем вы думаете», сказал Кролик.

Этот отрывок 1928 года можно было бы истолковать как самый первый «тест Unit Roo».

$AR(1)$

• $v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$$N(0,1)$

Процесс 1 не имеет единичного корня. Процесс 2 имеет единичный корень. Вы можете подтвердить это, рассчитав характеристические полиномы по ответу Михаэля.

$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

Что происходит дальше? Где мы ожидаем, что последовательность пойдет?

$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Таким образом, одна интуиция заключается в том, что когда «прогон удачи / неудачи» проталкивает процесс с единичным корнем, последовательность «застревает в позиции» из-за исторической удачи или удачи. Он все равно будет случайным образом перемещаться, но ничто не «заставит его вернуться». С другой стороны, когда нет единичного корня и процесс не взрывается, в процессе есть «сила», которая заставит процесс сместиться обратно в старое положение, хотя случайный шум все равно будет немного сбивать его с толку. ,

$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$